LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Retour vers l'accueil
Exercice 1: Commun à tous les candidats
Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On
répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes
les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une
boule blanche lors du n-ième tirage. 1) Calculez les probabilités p2, p3 et p4. 2) On considère les événements suivants:
Bn: " On tire une boule blanche lors du n-ième tirage "
Un: " On tire une boule blanche et une seule lors des n -1 premiers tirages "
a) Calculez la probabilité de Bn. b) Exprimez la probabilité de l'événement Un en fonction de n.
c) Déduisez-en l'expression de pn en fonction de n et vérifiez l'égalité:
3) On pose Sn = p2 + p3 +.... + pn. a) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n > 2, on a:
b) Déterminez la limite de la suite ( Sn)
Correction Exercice 1:
Sur un tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 1/3 et d'obtenir une boule noire est 2/3.
Une Urne Continent 2 Boules Noires Et 8 Boules Blanches St
Par hypothèse
Considérons l'événement A i: un trésor est placé dans le coffre d'indice i. Par hypothèse P ( A i) = P ( A j) et puisque les événements A i sont deux à deux incompatibles
P ( A i) = p / N . La question posée consiste à déterminer
P ( A N ∣ A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) . P ( A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) = 1 - P ( A 1 ∪ … ∪ A N - 1) = 1 - N - 1 N p
et
P ( A N ∩ A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) = P ( A N) = p N
donc
P ( A N ∣ A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) = p N - ( N - 1) p . Exercice 8 3828
(Loi des successions de Laplace)
On dispose de N + 1 urnes numérotées de 0 à N. L'urne de numéro k contient k boules blanches et N - k boules rouges. On choisit une urne au hasard, chaque choix étant équiprobable. Dans l'urne choisie, on tire des boules avec remise. Soit n ∈ ℕ. Quelle est la probabilité que la ( n + 1) -ième boule tirée soit blanche sachant que les n précédentes le sont toutes? Que devient cette probabilité lorsque N tend vers l'infini? Édité le 09-11-2021
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Une Urne Continent 2 Boules Noires Et 8 Boules Blanches
Comme e
-x > 0 sur R, on en déduit que f '(x) et g(x) sont de même signe. On connait le tableau de signes de g(x) (voir partie A), donc celui de f ', donc le tableau de
variations de f sur R.
4. a) a vérifie g(a) = 0 donc on a:. D'où,
b) On vérifie sans peine que la dérivée de h est définie par:
D'où h '(x) > 0 sur]-oo; 2, 5 [ d'où h est strictement croissante sur cet intervalle. Comme 0, 94 <
a < 0, 941, on a h(0, 94) < h(a) < h(0, 941) d'où, par exemple,
-1. 905 < h(a) < -1, 895. 5. f (x) - (2x-5) = - (2x-5)e-x = -2xe-x + 5e-x. Comme
on en déduit que. Donc la droite (D) est bien asymptote à (C) en +oo. De plus, f (x) - (2x-5) > 0 sur]-oo; 2, 5[ et < 0 sur]2, 5; +oo[ donc (D) est en-dessous de (C) sur]-oo; 2, 5[ et au-dessus de (C) sur]2, 5; +oo[. 6. Partie C. L'aire demandée est:. Pour calculer l'intégrale qui intervient ici, on effectue
une intégration par parties. D'où l'aire: A = (13 - 8e-2, 5)cm². Partie D.
ion sans difficulté, il suffit de connaître les coorodnnées des points considérés et de faire le
calcul!
Donc Un et Bn sont indépendants. D'où P(An) = P(Bn)*P(Un). D'où pn = (n-1)*(1/3)*(2/3)n-2*(1/3) = (n-1)*(2/3)n/4. 3. a) Pour n = 2, S2 = p2 = (1/9) OR 1 - (2/2 + 1)(2/3)² = 1/9. L'égalité demandée est donc vraie pour n = 2. On fait l'hypothèse de récurrence " Sn = 1 - (n/2 + 1)(2/3)n. " On remarque alors que S
n + 1 = Sn + pn + 1 = 1 - (n/2 + 1)(2/3)n + n*(2/3)n + 1/4
D'où, en mettant (2/3)n en facteur, on a:
S
n + 1 = 1 - (2/3)n[(n/2 + 1) - n(2/3)/4] = 1 - (2/3)n + 1[(n+1)/2 + 1]. On peut alors conclure par récurrence. b) On sait que. On en déduit alors que. D'où la suite (Sn) converge vers 1
Exercice 2: Candidat SPECIALITE
Les suites d'entiers naturels ( xn) et ( yn) sont définies sur N par: x0
= 3 et xn + 1 = 2xn - 1, y0= 1 et yn + 1= 2yn + 3
1) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n, xn= 2n+1 + 1
2) a) Calculez le pgcd de x8 et x9 puis celui de x2002 et x2003 d'autre part. Que peut-on en déduire pour x8 et x9 d'une part, pour x2002 et x2003 d'autre part? b) xn et xn+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n?
En outre, l'huile d'argan stimule et accélère la croissance des cheveux et, à l'inverse, prévient leur chute. Comment utiliser une huile d'argan pour cheveux? Il existe différentes façons d'utiliser l'huile d'argan pour un soin de cheveux. L'application de l'huile d'argan sur les cheveux mouillés est l'une des méthodes d'application les plus courantes. Pour ce faire, il suffit d'appliquer quelques gouttes de l'huile ou du shampoing sur des cheveux peignés. L'application sur les cheveux secs est exactement la même que sur les cheveux mouillés. Il faut toutefois veiller à ne pas trop appliquer l'huile ou le shampoing et à la répartir uniformément. Si les cheveux sont très secs, il est recommandé d'utiliser l'huile d'argan en masque comme traitement de nuit ou du shampoing à l'huile d'argan. L'utilisation de l'huile d'argan a un effet très positif sur le cuir chevelu. C'est pour cela, il est intéressant de l'utiliser comme traitement du cuir chevelu. Quels sont les ingrédients de l'huile d'argan?
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Vous pouvez aussi utiliser l'huile d'argan sur d'autres parties du corps comme les coudes, les genoux en cas de sécheresse. Pensez également à ajouter quelques gouttes d'huile d'argan dans votre bain pour obtenir une peau douce. L'huile d'argan pour les cheveux secs, fourchus ou ternes. En application sur la chevelure, l'huile d'argan redonne éclat, brillance et souplesse aux cheveux. Elle s'utilise beaucoup sur des cheveux ternes et fatigués qu'elle fortifie. Voici comment utiliser l'huile d'argan sur les cheveux. Après votre shampoing, massez délicatement votre chevelure avec cette huile végétale de façon à bien les imprégner. Laissez agir au minimum ½ heure puis rincez. Renouvelez l'opération une fois par semaine. Sur les cheveux crépus, appliquez quelques gouttes d'huile juste après le shampoing pour leur donner de l'éclat. Découvrez aussi mes soins cheveux secs maison avec l'huile d'argan et d'autres huiles essentielles. Fortifier et protéger vos ongles
Sur des ongles fragilisés et mous, mélangée à du jus de citron, l'huile d'argan fortifie les ongles et les protège.
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Appliquez l' huile sur cheveux humides et démêlés. Vous pouvez aussi le faire sur cheveux secs, mais les écailles seront beaucoup moins réceptives. Quelle huile végétale pour cheveux colorés? Huile d'argan Cette huile végétale convient parfaitement aux cheveux colorés et permet de les fortifier sans avoir recours à des produits capillaires industriels. L' huile d'argan prolonge l'éclat de votre coloration en évitant de la rendre terne. Quels sont les bienfaits de l'huile de jojoba sur les cheveux? L' huile de jojoba est très efficace pour nourrir, protéger et revitaliser les longueurs et pointes. Elle apporte brillance et souplesse aux cheveux. Utilisée en complément d'une autre huile végétale adaptée aux besoin de votre chevelure, elle est idéale pour vos recettes de bains d' huiles. Mélangez une noisette de beurre de karité pur à une huile vierge, selon votre besoin. Appliquez la mixture sur l'ensemble de la chevelure en insistant sur les pointes. Enroulez vos cheveux dans une serviette.
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Les bienfaits de l'huile d'argan font de ce produit un remède très efficace pour traiter de nombreux problèmes capillaires. Vous pouvez apporter à vos cheveux les soins dont ils ont besoin pour se développer et croître de manière saine. En effet, l'huile d'argan pour les cheveux se présente sous sa forme pure. Ce seul fait ne devrait pas uniquement réjouir les personnes allergiques. Au lieu de nous inquiéter des ingrédients qui provoquent des allergies, nous pouvons nous réjouir du pouvoir concentré de la nature. Les amandes, c'est-à-dire les graines de l'huile pressée à froid, contiennent de la vitamine E. Elles contiennent aussi des substances végétales secondaires qui sont importantes pour le développement de l'huile. Elles contiennent également des oméga-6, des substances végétales secondaires et des acides gras oméga-3. Quels sont les avantages de l'utilisation d'huile d'argan pour les cheveux bouclés? L' huile végétale d'argan est l'alliée parfaite pour le soin des cheveux bouclés, car ils sont souvent secs.
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Pour une peau sèche, ajoutez une goutte d'huile essentielle d'encens, de bois de hô, de néroli ou encore de rose de Damas. Huile raffermissante pour peaux matures
Si vous avez une peau mature et que vous souhaitez la raffermir, je vous conseille d'utiliser l'huile d'argan avec l'huile essentielle de géranium rosat. Le géranium rosat est une huile essentielle tonique et raffermissante souvent utilisée dans des soins anti-âge. Vous avez besoin de:
100 ml d'huile végétale d'argan
70 gouttes d'huile essentielle de géranium rosat. Prenez un flacon teinté et commencez par y mettre l'huile végétale d'argan et complétez avec l'huile essentielle de géranium rosat. Mélangez bien. Vous venez de préparer votre premier sérum à l'argan! Mettez quelques gouttes de ce sérum dans le creux de la main, frottez vos mains et appliquez en massage doux sur le visage. N'utilisez pas l'huile essentielle de géranium rosat dans les 3 premiers mois de grossesse. Sérum de jeunesse à l'argan
Je vous donne aussi la recette pour préparer un véritable sérum anti-âge liftant à préparer chez vous.
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Au réveil, rincez vos cheveux à l'eau froide pour retirer l'excès de gras. Est-ce que l'huile d'argan fait éclaircir la peau? Lorsque le mélange est homogène, rajoutez cinq gouttes d' huile d'argan. Ce masque a pour objectif d' éclaircir votre peau, alors, appliquez-le sur votre visage, massez quelques minutes puis laissez-le agir durant un quart d'heure. Rincez abondamment à l'eau froide et admirez le résultat! L' huile d'Argan est particulièrement recommandée pour nourrir et adoucir la peau. Non grasse, elle pénètre rapidement et protège de la déshydratation cutanée. Il suffit de quelques gouttes chauffées dans la paume de la main et appliquées en massant doucement sur la peau ce qui la laissera souple et satinée. Est-ce que l'huile d'argan est comestible? Composée en majorité d'acides gras mono-insaturés, elle peut théoriquement s'utiliser pour des cuissons douces. Mais compte tenu de son prix (élevé! ) et de sa saveur délicate, on a tout intérêt à l'utiliser crue.
De plus, les vertus de cette huile ne sont plus à démontrer, ce qui explique aussi sûrement l'engouement pour cet ingrédient et l'origine de son succès. Merci à Compétence Professionnelle Dessange et les Laboratoires Priem