Or f est solution de
l'équation différentielle
y ' = ay,
on a donc f ' ( x) = a f ( x). Ainsi:
g ' ( x) = – e – ax af ( x) + e – ax f
' ( x)
g ' ( x) = – e – ax f ' ( x) + e – ax f ' ( x)
g ' ( x) = 0
La fonction g est de
dérivée nulle, c'est donc
une fonction constante. Ainsi g ( x) = e – ax f ( x) = C,
avec, d'où f ( x) = Ce ax. b. Autres solutions de l'équation
différentielle y' = ay
Si f
et g
sont deux solutions de l'équation
différentielle y ' = ay,
avec, alors f + g
et kf (avec k
une constante) sont également solutions de
l'équation différentielle. Soient f
et g deux solutions de
l'équation
différentielle y ' = ay. On a alors f ' = af
et g ' = ag. ( f + g) ' = f ' + g ' = af + ag = a ( f + g)
( kf) ' = kf ' = kaf = a ( kf). c. Exemple
On cherche les solutions de l'équation
différentielle y ' = 2 y. Équations Différentielles : Cours • Maths Complémentaires en Terminale. Les solutions de ce type d'équation
s'écrivent sous la forme f ( x) = Ce 2 x,
avec C
une constante qui appartient à. On représente ci-dessous quelques exemples de
solutions pour différentes valeurs
de C.
Cours Équations Différentielles Terminale S Pdf
On appelle équation différentielle du second ordre une équation différentielle faisant intervenir une fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde. etc. Cours équations différentielles terminale s homepage. L'équation y''+100y=0 est une équation différentielle du second ordre. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par: f(x)=\sin(-10x) Alors f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x: f'(x)=-10\cos(-10x) f' est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x: f''(x)=-10\times (-10)\times \left[-\sin(-10x)\right] f''(x)=-100\sin(-10x) Ainsi pour tout réel x, on obtient: f''(x)+100f(x)=-100\sin(-10x)+100\sin(-10x) f''(x)+100f(x)=0 La fonction f est solution sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y''+100y=0. II Les équations différentielles du premier ordre à coefficients constants Parmi les équations différentielles, les équations du type y'=ay+b avec a et b réels sont des équations faisant intervenir la fonction exponentielle dans l'expression des solutions sur \mathbb{R}. Soit un réel a. Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y'=ay sont les fonctions du type x\mapsto k\text{e}^{ax} où k est un réel quelconque.
A partir de là on peut maintenant résoudre les équations différentielles du type y ′ + a y = b y'+ay=b. Si a ≠ 0 a\neq0
Dans ce cas la fonction x → b a x\rightarrow \dfrac {b}{a} est une solution évidente dans l'équation différentielle (je vous laisse vérifier) donc par somme, avec les solutions de l'équation homogène, les solutions de y ′ + a y = b y'+ay=b sont les fonctions de la forme x → λ e − a x + b a x \rightarrow \lambda e^{-ax} + \dfrac{b}{a} avec λ ∈ R \lambda \in \mathbb {R}. Si a = 0 a=0
l'équation devient y ′ = b y'=b, résoudre l'équation différentielle revient à intégrer b b. y y est donc de la forme x → b x + c x \rightarrow bx+c avec c ∈ R c \in \mathbb{R}
Note:
Je pensais aborder les équations différentielles du second ordre, celle du premier ordre à coefficients non constant et les problèmes de Cauchy mais ça ferait un peu trop long pour une fiche. D'autant que ces équations différentielles ne sont pas au programme de terminale. Cours équations différentielles terminale s pdf. S'ils vous donnent une équation du second ordre, ils vous en donneront la solution et vous demanderont de vérifier qu'elle est bien solution.
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