Niveau Licence Maths 1e ann Posté par manubac 22-12-11 à 14:50 Bonjour,
Voulant vérifier si je ne me trompe pas sur une relation entre coefficients et racines je vous soumet ma formule permettant de calculer la somme et le produit des racines d'une équation de degré n dans C:
Soit P(z) l'équation:
a n z n + a n-1 z n-1 +... + a 1 z + a 0 = 0
où z et i {0;1;... ;n}, a i. Soit S la somme des racines de P(z) et P leur produit. Alors: S =
P = si P(z) est de degré pair
P = si P(z) est de degré impair
Y a-t-il quelque chose de mal dit ou de faux dans ces résultats selon vous? Merci d'avance de votre assistance
PS: je me suis servi de l'article de wikipedia aussi présent sur l'encyclopédie du site pour retrouver ces formules
Posté par Tigweg re: Equation de degré n: somme et produit des racines 22-12-11 à 14:53 Bonjour, c'est juste, sauf qu'il suffit de considérer le polynôme n'est pas une équation... )
Posté par gui_tou re: Equation de degré n: somme et produit des racines 22-12-11 à 14:54 Oui c'est juste.
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Combien vaut S et P
2) Je ne comprnds pas car pour moi une racine double c'est -b/2a alors que x1 et x2 sont deux racines distinctes
Je ne vois pas comment refaire la démonstration
Dans l'énoncé on dit qu'il ne faut pas calculer le discriminant je dois donc factoriser f(x)? Dans la démonstration, y a t-il une condition entre x1 et x2? Tu ne calcules pas le discriminant mais tu indiques son signe puis la valeur de la somme et du produit. 2) Désolé je n'ai toujours pas compris
Il faut montrer que si Δ=0 dans ax²+bx+c alors x=-b/2a = x1+x2? 3) En revanche j'ai avancé sur cette question:
a = 2 et c = -17
a et c sont de signes contraires, donc Δ est toujours postif
S = -14/2
P = -17/2
Le produit de x1 par x2 est négatif ce qui montre que x1 et x2 sont de signes contraires
Si S = 2x1 et P = x1²
alors ax² + bx + c =....
juste. alors ax²+bx+c= a[x²-(2x1)x+x1²]
Je dois en conclure que c'est vrai pour S et faux pour P? Pourquoi tu indiques faux pour P? P = x1x2
Or x1=x2
Donc (x1)² = P
Mais je pense que j'ai faux
Si tu reprends la démonstration:
S = (x1)+(x2) et P = (x1)×(x2)
avec x1 = x2, cela donne....
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Ce sujet a été supprimé. Seuls les utilisateurs avec les droits d'administration peuvent le voir. Bonjour j'ai un exercice à faire sur les sommes et produits des racines mais je ne comprends pas comment faire la question 2
Voici l'énoncé:
Démontrer que si l'équation du second degré: ax²+bx+c=0 a deux racines distinctes, la somme S et le produit P de ces racines sont donnés par: S=-b/a et P=c/a
Est-ce encore vrai pour une racine double? Soit l'équation 2x²+14x-17=0
Sans calculer le discriminant, montrer que cette équation a deux racines. Sans les calculer, trouver leur somme et leur produit. En déduire qu'elles sont de signes contraires. 1) J'ai mis
Soit S = (x1)+(x2) et P = (x1)×(x2)
ax²+bx+c=a(x-x1)×(x-x2)
=a×[x²-(x1+x2)×(x)+(x1)×(x2)
=a[x²-Sx+P]
S = -b÷a et P = c÷a
2) J'ai pas compris
3) Il faut trouver le signe de b² et de Δ? Ou juste calculer x1 et x2 et faire une déduction? Merci de m'aider
Bonsoir dddd831,
2) si x1 = x2, la démonstration du 1 est-elle valable? 3) Oui, quel est le signe de delta?
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A condition que S² - 4 P >=0
On peut même trouver un truc plus subtil: si les 2 racines jouent le même rôle, on peut souvent rédiger le problème en fonction de S et P.
Exemple: calculer Q=a^3 + b^3. Tu verras que a et b jouent le même rôle (si je les échange, ça ne changera pas la valeur de l'expression). Il n'est pas difficile d'écrire Q en fonction de S et P. Essaie. Aujourd'hui 01/07/2011, 19h39
#7
que veut tu dire par les 2 racines jouent le même rôle? 01/07/2011, 21h48
#8
L'idée est que si on prend une expression compliquée du genre
a^3 + b^3 - 25 a² - 25 b² + 9 a²b²
On voit que a et b jouent le même rôle; si je remplace a par b et b par a, ça ne change rien à l'expression. Alors, on peut écrire l'expression en fonction de S et P.
Souvent, quand les variables jouent le même rôle comme ici, il n'est pas opportun de détruire cette symétrie, il vaut mieux faire un changement de variable et prendre S et P.
02/07/2011, 09h22
#9
Elie520
En fait, la somme et le produit des racines au degré 2 du polynôme se généralisent en somme, puis somme des produits (ab+ac+ad+bc+bd+cd) puis en somme des triples produit (abc+abd+acd+bcd) et en produit de tout les éléments (abcd)
Au degré 4.
Règles de calcul avec les racines carrées
Propriété 9. Les règles de calcul avec les racines carrées sont les mêmes que les règles appliquées aux nombres décimaux, aux fractions et au calcul littéral, en respectant les nouvelles propriétés des racines carrées. 1. Calculer une somme avec une même racine carrée
Exercice résolu n°1. Calculer $A=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible! 2. Calculer une somme avec plusieurs racines carrées réduites
Exercice résolu n°2. Calculer $B=5\sqrt{2}-7\sqrt{3}-8+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+12$, et donner le résultat sous la forme la plus réduite possible! 3. Calculer une somme avec plusieurs racines carrées
Exercice résolu n°3. Calculer $C= 5\sqrt{32}+2\sqrt{18}-\sqrt{50}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible! 4. Calculer un produit avec des racines carrées
Exercice résolu n°4.
Rhys Healey a été un des grands artisans de la montée en Ligue 1 et de l'obtention du titre de champion de France de Ligue 2 avec ses 20 buts. L'attaquant anglais, arrivé à l'été 2020 du MK Dons, club de troisième division au Royaume Unis, a donné une interview au Sun. Voici ce qu'il faut retenir. Son arrivée au TFC " J'avais un peu peur à l'époque, car je ne savais pas grand-chose sur le football français et Toulouse. J'ai fait le bon choix. C'est une belle ville, une grande ville. Real Madrid : comment l'affaire Mbappé a affecté la préparation de la finale de la Ligue des Champions. Quand je l'ai rejoint, c'était difficile avec la situation du Covid et c'est génial d'avoir maintenant joué dans un stade complet. L'apprentissage de la langue a été difficile, mais je comprends plus que je ne parle le français. " La montée et le titre " C'était génial. Les bières coulaient à flots, on dansait, on chantait. Il y a eu beaucoup de soulagement, car nous avions perdu en barrage il y a un an. " Son trophée de meilleur buteur " La saison dernière, j'avais mis 15 buts. Là, j'en ai mis 20 en Ligue 2 et 2 en Coupe.
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Il a participé aux Jeux africains en Egypte (1992), la même année le coach feu Modibo Touré l'a sélectionné pour le Tournoi Cabral à Dakar. Après avoir joué les trois premières journées des éliminatoires de la Can de Tunis 1994, il ne sera malheureusement pas à la phase finale. La raison? "Je faisais partie de la première sélection de l'entraîneur Mamadou Kéita dit Capi, pour le tournoi Cabral et les deux dernières journées des éliminatoires. L'équipe était internée à l'hôtel 'Les Hirondelles'. L'ambiance dans le groupe était prometteuse pour l'ambition affichée. Seulement à la suite d'un incident avec Capi, l'encadrement s'est passé de mes services. Malgré les interventions des autres joueurs, Capi n'a pas fléchi. J'ai ainsi quitté l'équipe nationale de façon définitive, très déçu et moralement sonné. Meilleur equipe ligue 1 fut 19 tips. Cela m'a beaucoup dérangé mentalement. C'était dommage! " Sa longue et riche carrière retient dans le tableau de bons souvenirs sa première coupe du Mali avec le Réal, sa première sélection en équipe nationale.
Les Kayesiens se sont imposés à l'issue de deux éditions, et battront plus tard les Scorpions en finale. Il n'a pas dépassé une saison avec cette vaillante équipe mopticienne composée à l'époque des Oumar Guindo, Koureichi Camara, Boubacar Sissoko, Boubacar Barry, etc. Les Réalistes lui proposent mieux, et Diégo saute sur l'occasion. La raison est toute simple. Ambitieux de l'équipe nationale, il s'est dit que cette aubaine était à saisir. Il s'impose dans le nid des Scorpions. Comment la suite de sa carrière s'est passée? Pourquoi a-t-il joué au Djoliba? Quels sont ses bons et mauvais souvenirs? Trois ans plus tard, les Warriors sont de retour sur le trône de l’Ouest | NBA. Qu'est-ce qu'il est réellement devenu après sa retraite? Harouna Coulibaly dit Diégo parle de tout cela, dans un contexte particulier. Celui de la rubrique "Que sont-ils devenus? " L'ancien international du Réal nous a reçus en fin de week-end dernier. Le physique de Diégo rappelle celui de Mamadou Diakité dit Lélélé, l'ancien ailier virevoltant et insaisissable du Stade malien de Bamako. Ils ont pratiquement les mêmes qualités techniques.