Par exemple, un ingénieur souhaite analyser le procédé de moulage par injection d'une pièce en plastique. Tout d'abord, il conçoit un plan factoriel fractionnaire, identifie les facteurs importants (température, pression, vitesse de refroidissement) et détermine que la présence d'une courbure dans les données. L'ingénieur crée ensuite un plan composite centré pour analyser la courbure et déterminer les paramètres de facteurs les plus adaptés. Cette feuille de travail Minitab montre une portion du plan composite centré. L'ingénieur mène l'expérience en collectant des données dans l'ordre indiqué dans la colonne OrdEssai. C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
OrdreStd
OrdEssai
TypePt
Blocs
Température
Pression
Vitesse de refroidissement
20
1
0
337, 50
55
15, 00
16
2
9
3
–1
316, 478
13
4
6, 591
10
5
358, 22
18
6
14
7
23, 409
Après avoir collecté les données, l'ingénieur saisit les données de réponse dans une colonne vide de la feuille de travail et analyse le plan. Un grand nombre de choix que vous faites lorsque vous créez un plan dépend de votre plan d'expériences global.
Plan Composite Centré 3 Facteurs Clés
Il existe plusieurs types de plans permettant l'étude des surfaces de réponses et la
modélisation polynomiale du second degré. La présente section présente le plan d'expériences
utilisé au cours de nos travaux (chapitre III et IV) pour mettre en œuvre la méthodologie des
surfaces de réponse. Le plan utilisé est un plan composite centré permettant de modéliser l'évolution d'un
critère au moyen d'une forme quadratique analytique prenant en considérations 3 paramètres. Un plan composite est constitué de trois parties:
36
Un plan factoriel à deux niveaux par facteur analogue à ceux déjà décrits;
Au moins, un point expérimental situé au centre du domaine expérimental;
Des points expérimentaux situés sur les axes de chacun des facteurs. La représentation d'un plan composite à trois facteurs est donnée sur la figure II. 3. Les
points A, B, C, D, E, F G, H sont les points d'un plan factoriel β 3. Le point M est le point
central; il peut être répliqué une ou plusieurs fois. Les points a, b, c, d, e, f sont les points
axiaux.
Plan Composite Centreé 3 Facteurs Pour
Ils garantissent également que tous les facteurs ne sont jamais simultanément à leur niveau maximum.
Plan Composite Centreé 3 Facteurs Plus
( ()) … ( ())] (I. 19)
Parmi les fonctions de désirabilité individuelles existantes nous présentons la fonction
suivante proposée par Derringer et Suich [Der 80]:
() =
(
0 ();
(I. 20)
Avec:
T j la valeur cible pour une réponse j
Y minj et Y maxj les limites de désirabilité pour la réponse j
s et t sont des variables définies par l'utilisateur en fonction de leur expérience permettant à
celui-ci d'indiquer les limites de la fonction de désirabilité autour de la valeur cible (T j) pour
une réponse j. Dans le cas où la cible (T j) cherché est un maximum, la fonction de désirabilité s'écrit comme
suit:
0 (
1 ()
(I. 21)
Dans le cas où la cible (T j) cherché est un minimum, la fonction de désirabilité s'écrit comme
1 (
0 ()
(I. 22)
L'étape qui suit consiste à remplacer les polynômes Y j (x) développé par la méthodologie de
surface de réponse dans les fonctions de désirabilités individuelles, qui seront eux-mêmes
remplacé dans la fonction objective globale. Finalement, il ne reste qu'à maximiser la
fonction objective globale D(x).
Plan Composite Centré 3 Facteurs Au Service
La meilleure solution est de
choisir le point central du domaine d'étude à chaque fois que cela est possible. Dans ce cas, si
l'on effectue n mesures, l'écart type est donné par la formule:
_ 2
1
Plan Composite Centreé 3 Facteurs
Autrement dit, elles minimisent un certain nombre d'objectifs tout en dégradant les
performances sur d'autres objectifs. La dominance
Une multitude de solutions peuvent être trouvées dans la résolution d'un problème
d'optimisation multiobjectif, une question qui se pose est comment choisir les solutions les
plus intéressantes entre toutes ces solutions. Pour le faire il faut se baser sur le concept de
dominance. Il faut donc qu'il existe une relation de dominance entre la solution considérée et
les autres solutions:
On dit que le vecteur domine le vecteur si:
est au moins aussi bon que dans tous les objectifs, et,
est strictement meilleur que dans au moins un objectif. Les solutions qui dominent les autres mais ne se dominent pas entre elles sont appelées
solutions optimales au sens de Pareto (ou solutions non dominées). On dé nit comme suit
l'optimalité locale et l'optimalité globale au sens de Pareto. Un vecteur est optimal localement au sens de Pareto s'il existe un réel > 0 tel
qu'il n'y ait pas de vecteur qui domine le vecteur avec (, ), ù (, )
représente une boule de centre et de rayon.
Pour plus d'informations, reportez-vous à la rubrique Phases d'un plan d'expériences. Où trouver cette analyse?