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que trouves-tu? ensuite, au numérateur, factorise (n+1)...
Posté par LeMagnaux re: Raisonnement par récurrence 08-09-18 à 12:47 C'est bon j'ai trouvé fallait factorise, ensuite faire une trinome et Injecter 😇
Merci quand Même, restez tous de meme Joignable si j'ai encore besoin d'aide, bonne journée 👍🏼
Posté par carita re: Raisonnement par récurrence 08-09-18 à 12:49 bonne journée à toi aussi
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Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés Par Point
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Le raisonnement par récurrence est un puissant outil de démonstration particulièrement utile pour l'étude des suites, il permet notamment de prouver la validité d'une conjecture faite à partir de l'expression par récurrence d'une suite pour trouver son expresion directe (qui ne dépend que l'indice "n"). Le principe du raisonnement par récurrence Si une proposition P(n) (qui dépend d'un indice "n" entier) répond à ces deux critères: - P(n 0) est vraie - Si l'on suppose que pour n n 0 le fait que P(n) soit vrai implique que P(n+1) le soit aussi Alors la proposition P(n) est vraie pour tout n n 0 Mise en pratique du raisonnement par récurrence D'après ce qui précède, il s'effectue toujours en deux étapes: Première étape On l'appelle "'initialisation", elle consiste à vérifier que que le terme n 0 (souvent zéro) de la proposition est vraie.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés De La
S n = 1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n − 1)
Calculons S(n) pour les premières valeurs de n. S 2 = 1 + 3 = 4
S 3 = 1 + 3 + 5 = 9
S 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
S 5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
S 6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
pour n ∈ {2;3;4;5;6}, S n = n²
A-t-on S n = n² pour tout entier n ≥ 2? Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant: « S n = n² »; montons que P(n) est vrai pour tout n ≥ 2.
i) P(2) est vrai on a S 2 = 1 + 3 = 4 = 2². ii) soit p un entier > 2 tel que P(p) est vrai, nous donc par hypothèse S p = p², montrons alors que S p+1 est vrai., c'est que nous avons S p+1 = (p+1)². Démonstration:
S p+1 = S p + (2(p+1) - 1) par définition de S p
S p+1 = S p + 2p + 1
S p+1 = p² + 2p + 1 d'après l'hypothède de récurrence
d'où S p+1 = (p+1)²
CQFD
Conclusion: P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 2, donc S n = n² pour tout entier n ≥ 2. Cette démonstration est à comparer avec la démonstration directe de la somme des n premiers impairs de la page. c) exercice sur les dérivées n ième
Soit ƒ une fonction numérique définie sur l'ensemble de définition D ƒ =]−∞;+∞[ \ {−1} par ƒ(x) = 1 / (x + 1) =.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Cartes D'acquisition
suite arithmétique |
raison suite arithmétique |
somme des termes |
1+2+3+... +n |
1²+2²+... +n² et 1²+3²+... +(2n-1)² |
1³+2³+... +n³ et 1³+3³+... (2n-1)³ |
1 4 +2 4 +... +n 4 |
exercices
La suite des carrés des n premiers entiers est 1, 4, 9, 16, 25,..., n 2 − 2n + 1, n 2. Elle peut encore s'écrire sous la forme 1 2, 2 2, 3 2, 4 2,..., (n − 1) 2, n 2. Nous pouvons ainsi définir 3 suites S n, S n 2 et S n 3. S n est la somme des n premiers entiers. S n = 1 + 2 + 3 + 4 +...... + n. S n 2 est la somme des n premiers carrés. S n 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +...... + n 2. S n 3 est la somme des n premiers cubes. S n 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +...... + n 3. Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés. Il faut utiliser le développement du terme (n + 1) 3 qui donne:
(n + 1) 3 = (n + 1) (n + 1) 2 = (n + 1) (n 2 + 2n + 1) = n 3 + 3n 2 + 3n + 1.
On sait que $u_{11} = 121$ et $u_{15} = 165. $ Calculer $r, u_0, u_{100}$ puis $S = u_0 + u_1 +... + u_{100}$. Exemple 2
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 5n - 4$. Démontrer que $(u_n)$ est arithmétique et calculer $S = u_{100}+... + u_{200}$. Exemple 3
somme des entiers pairs: Calculer $S = 2 + 4 + 6 +... + 2n$. Exemple 4
On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq1$ par:$$u_n=\sum_{k=1}^n (2k-1)$$
Démontrer que $u_n=n^2$.