Nous allons ici étudier un type de fonctions
liées à la fonction carrée. 1. Fonction polynôme de degré 2
Une fonction (polynôme) du second
degré est une fonction qui peut
s'écrire sous la forme, avec a un réel non nul,
b et
c deux
réels. Remarque
Une fonction du second degré peut s'écrire
sous plusieurs formes. On appelle forme
développée la forme. La forme est la forme factorisée. 2. Représentation graphique
a. Cas général
On appelle parabole la courbe
représentative d'une fonction du second
degré. La parabole a pour équation, avec a un réel non
nul, b et
L'allure de la parabole
d'équation dépend du signe
de a:
Moyen mnémotechnique: lorsqu'on est
positif, on sourit, alors que lorsqu'on est
négatif, on fait la moue. Le sommet S de la parabole est le point de la parabole
d'abscisse. Exemple 1: cas où
On va étudier la fonction f
définie sur l'intervalle [-1; 4]
par. Ici. Signe d un polynome du second degré coronavirus. Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice
est:
x
–1
0
1
2
3
4
f(x)
5
D'après ce tableau on peut lire
que. Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 1, 5 et Y =
–1, 25.
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Par conséquent, la courbe représentative
d'une fonction polynôme du
type est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées du
repère. On a vu au paragraphe précédent que
le sommet S d'une
parabole d'équation était le point de
la parabole d'abscisse. Ici, comme b = 0, le sommet S de la
parabole a pour abscisse. et
pour ordonnée. Signe d un polynome du second degré film. Le sommet de la parabole est donc le
point O (0; 0). Exemple
Soit f ( x) =
0, 2 x 2. On peut
dresser un tableau de valeurs de f:
f ( x)
1, 8
0, 8
0, 2
puis, placer les points de coordonnées
( x;
f ( x)) dans un repère et
enfin, tracer la courbe passant par ces points:
c. Cas particulier lorsque c = 0
type. La courbe représentative
d'une fonction du type est la même que
celle de la fonction mais
« décalée » vers le haut
ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
Reprenons la fonction f ( x) =
0, 2 x 3 de
l'exemple précédent, et
considérons les fonctions g et h définies par
g ( x) = 0, 2 x 2 +
2 et h ( x) = 0, 2 x 2 –
3. Visualisons leur représentation graphique
dans un même repère:
On remarque que, par rapport à la courbe de
f, la
courbe de g est
« décalée » de 2
vers le haut ( b = 2) et que celle de
h est
« décalée » de 3 vers le
bas ( b =
–3).
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Taper les données
Taper les nombres décimaux avec un point et non une virgule, exemple: taper 0. 65 au lieu de 0, 65 (indiquer le 0 avant le point). Ne pas laisser d'espace vide entre les caractères. Valeur a:
Valeur b:
Valeur c:
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Des remarques, des suggestions! N'hésitez pas à nous contacter.
Alors: $\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha; +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$. $\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha; +\infty[$. Elle admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$. Tableaux de variations pour $a>0$ et $a<0$:
9. 2 Exemples
Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes: $f(x)=2 x^2+5 x -3$; $\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole; $\quad$ b) Dresser le tableau de variation; $\quad$ c) Construire la courbe représentative $\cal P$. Corrigé. 1°) On considère la fonction polynôme suivante: $f(x)=2 x^2+5 x -3$. On commence par identifier les coefficients: $a=2$, $b=5$ et $c=-3$. a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$. Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré - Logamaths.fr. D'où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.
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