Exercice d'exponentielle et logarithme népérien. Maths de terminale avec équation et fonction. Variations, conjecture, tvi, courbe. Exercice N°354:
On considère l'équation (E) d'inconnue x réelle:
e x = 3(x 2 + x 3). Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur R par
f(x) = 3(x 2 + x 3)
telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal. 1) A l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de
l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs. 2) Étudier selon les valeurs de x, le signe de
x 2 + x 3. 3) En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution sur l'intervalle]-∞; −1]. 4) Vérifier que 0 n'est pas solution de (E). On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de]−1; 0[⋃]0; +∞[ par:
h(x) = ln 3 + ln (x 2) + ln(1 + x) − x. 5) Montrer que, sur]−1; 0[⋃]0; +∞[, l'équation (E) équivaut à
h(x) = 0. 6) Montrer que, pour tout réel x appartenant à]−1; 0[⋃]0; +∞[, on a:
h ' (x) = ( −x 2 + 2x + 2) / x(x + 1).
Logarithme Népérien Exercice 1
Domaine de définition
Le domaine de définition de la fonction logarithme est D =]0;+∞[ Ainsi, dans le cas d'une fonction de la forme f = ln(u), le domaine de définition est donné par les solutions de l'inéquation u(x) > 0. 4- 2. Variation de la fonction logarithme_népérien
La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur]0;+∞[. Démonstration
La fonction ln est dérivable sur]0;+∞[ donc continue sur cet intervalle. La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur]0;+∞[ par ln′(x) = 1/x. Or si x > 0 alors, 1/x> 0. La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur]0;+∞[
On déduit de ce théorème les propriétés suivantes:
Pour tous réels a et b strictement positifs:
ln(a) = ln(b) si, et seulement si, a = b ln(a) > ln(b) si, et seulement si, a > b
En particulier, puisque ln1 = 0:
Pour tout réel x strictement positif:
lnx = 0 si, et seulement si, x = 1 lnx > 0 si, et seulement si, x > 1 lnx < 0 si, et seulement si, 0 < x < 1
4- 3.
Logarithme Népérien Exercice 3
Fonction logarithme népérien
A SAVOIR: le cours sur la fonction ln
Exercice 3
Ecrire $A$ et $B$ sous la forme $a\ln b + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $b\text"<"7$. $A=\ln 225-2\ln3+\ln(e^{9})$ $B=3\ln 24e-\ln 64+e^{\ln7}$. Solution...
Corrigé
$A=\ln 225-2\ln3+\ln(e^{9})=\ln 15^2-2\ln3+9=2(\ln15-\ln3)+9=2\ln{15}/{3}+9=2\ln5+9$. $B=3\ln 24e-\ln 64+e^{\ln7}=3(\ln 24+\ln e)-\ln 4^3+7=3\ln 24+3\ln e-3\ln 4+7$. Soit: $B=3\ln 24+3×1-3\ln 4+7=3\ln{24}/{4}+10=3\ln 6+10$. Réduire... Pour passer à l'exercice suivant, cliquez sur
Logarithme Népérien Exercice 4
3. Démontrer cette conjecture. Exercices 11: QCM révision logarithme népérien - type bac
Dire si les affirmations sont vraies ou fausses. Justifier. 1. L'équation $\ln x=-1$ n'a pas de solution. 2. Si $u>0$ alors $\ln u>0$. 3. $\ln (x^2)$ peut être négatif. 4. Pour tout $x>0$, $\ln(2x)>\ln x$
5. L'expression $\ln (-x)$ n'a pas de sens. 6. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln x \times \ln y=\ln(x+y)$. 7. Si $f(x)=(\ln x)^2$ alors $f'(x)=\frac{2\ln x}x$. 8. ($u_n$) est une suite géométrique avec $u_0>0$ et la raison $q>0$ alors $\left(\ln(u_n)\right)$ est
arithmétique. Exercices 12: Question ouverte - Comparaison de exponentielle et logarithme
Démontrer que pour tout réel $x>0$, $e^x>\ln x$. Exercices 13: fonction exponentielle avec paramètre - Bac S Amérique du nord
2017 exercice 2
Soit $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f (x)=-\frac b8\left(e^{^{\textstyle{\frac
xb}}}+e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)+ \frac 94$ où $b > 0$. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [-2; 2], $f (-x) = f (x)$.
Logarithme Népérien Exercice Physique
Logarithme népérien – Logarithme décimal: Cours, Résumé et exercices corrigés
A- Logarithme_népérien
1- Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive de la fonction x → 1/x définie sur] 0; +∞ [ qui s'annule en 1. La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle x = e y ⇔ y = ln x
2- Représentation
Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. 3- Propriétés de la fonction logarithme népérien
La fonction ln est définie sur l'intervalle]0;+∞[ ln(1) = 0 Pour tout réel x > 0, ln′(x) = 1/x Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, on a: ln(a × b) = ln(a)+ln(b) Pour tout nombre réel strictement positif a, ln(1/a) = −ln(a) Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, ln(a/b) = ln(a)−ln(b) Pour tout nombre réel strictement positif a, et pour tout entier relatif n, ln(a n) = n ln(a) Pour tout nombre réel strictement positif a,
ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a)
4- Etude de la fonction logarithme_népérien
4-1.
Corrigé en vidéo! Exercices 1: Position relative de 2 courbes - logarithme - D'après sujet de Bac
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=(\ln x)^2$. On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$. 1) Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$. 2) Soit M et N les points de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $x$. Sur
l'intervalle $[1;e]$, pour quelle valeur de $x$,
la distance MN est-elle maximale? Quelle est la valeur de
cette distance maximale? Exercices 2: Aire maximale d'un rectangle - Fonction logarithme - D'après sujet
de Bac - Problème ouvert
Soit $f$ la fonction définie sur]0; 14] par $f (x) = 2-\ln\left(\frac x2 \right)$ dont la courbe
$\mathscr{C}_f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous:
À tout point M appartenant à $\mathscr{C}_f$, on
associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M
sur l'axe des ordonnées.
1) Démontrer que la courbe \(\mathcal C\) admet une asymptote horizontale. 2) Déterminer la fonction dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sur \([1;+\infty[\). 3) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \([1;+\infty[\). PARTIE B
On considère la suite \((u_{n})\) définie par
u_{n}=\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{n+1}}\ln(x) dx \quad \forall n\in \mathbf{N}. 1) Démontrer que
u_{0}=\frac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^{2}. Interpréter graphiquement ce résultat. 2) Prouver que, pour tout entier naturel \(n\) et pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \([1; 2]\), on a
0\leq \frac{1}{x^{n+1}}\ln(x)\leq \frac{1}{x^{n+1}}\ln (2). 3) En déduire que, pour tout \(n\in \mathbb{N}^{*}\), on a
0\leq u_{n}\leq \frac{\ln(2)}{n}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right). 4) Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\). Exercice 4 (Amérique du Sud Novembre 2017)
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles
confiseries: des palets au chocolat en forme de goutte d'eau. Pour
cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à
la contrainte suivante: pour que cette gamme de bonbons soit
rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1
litre de pâte liquide au chocolat.
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