On dit que \(a\) est pair s'il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\). Autrement dit, \(a\) est un multiple de \(2\). On dit que \(a\) est impair s'il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k+1\). Exemple: \(23=2\times 11+ 1\), \(23\) est donc impair. On a les propriétés suivantes:
La somme de deux nombres pairs est un nombre pair
La somme de deux nombres impairs est un nombre pair
La somme d'un nombre pair et d'un nombre pair est un nombre impair
Démonstration: Le premier point est une conséquence directe d'une propriété de la partie précédente: deux nombres pairs sont des multiples de 2. Leur somme est donc un multiple de 2. L'ensembles des nombres entiers naturels. Nous allons démontrer que la somme d'un entier pair et d'un entier impair est un nombre impair. Soit \(a\) un nombre pair et \(b\) un nombre impair. Puisque \(a\) est pair, il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=2k\). Puisque \(b\) est impair, il existe \(k'\in\mathbb{Z}\) tel que \(b=2k'+1\)
Ainsi, \(a+b=2k+2k'+1=2(k+k')+1\). Or, \(k+k'\) est un entier relatif, \(a+b\) est donc un nombre impair.
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On dit que $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ est la décomposition en produit de facteurs premiers
de $n$. Si $n\geq 2$ et $p$ est un nombre premier, on appelle valuation $p$-adique de $n$, et on note $v_p(n)$,
le plus grand entier $k\geq 0$ tel que $p^k|n$. La valuation $p$-adique de $n$ est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers
Application au calcul du pgcd et du ppcm: si $a, b\geq 2$ se décomposent sous la forme
$$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$$
$$b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}$$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et $\alpha_i, \beta_i\in\mathbb N$, alors
\begin{eqnarray*}
a\wedge b&=&p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdots p_r^{\min(\alpha_r, \beta_r)}\\
a\vee b&=&p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdots p_r^{\max(\alpha_r, \beta_r)}. Arithmétique des entiers. \end{eqnarray*}
Congruences
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs et $n$ un entier naturel. On dit que $a$ et $b$ sont congrus modulo n
s'il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $a-b=kn$. On note
$$a\equiv b\ [n].
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3- Simplifier $\sqrt{\frac{360\times 7}{126\times 5}}$. Correction de l'exercice 5
Exercice 6:
1- Décomposer es deux nombres $a=360$ et $b=864$. 2- Déduire $a$∧$b$ et $a$∨$b$. Correction de l'exercice 6
Exercice 7:
Compléter le tableau suivant:
Correction de l'exercice 7
Exercice 8:
$a$ et $b$ deux entiers naturels comprissent entre 1 et 9, et soit X un entier naturel tel que $X=324a4b$. Déterminer $a$ et $b$ tel que $X$ est divisible sur 4 et 9 en même temps. Correction de l'exercice 8
Exercice 9:
Soit $n$ un entier naturel, m ontrer que 3 divise $n^3-n$. Correction de l'exercice 9
Tous les partie de cours « l'ensemble N et notions élémentaires d'arithmétique ». Ensemble des nombres entiers naturels n et notions en arithmétique l. Série d'exercices en arabe
Par Youssef NEJJARI
Pensez aux chatons, simplifiez vos fractions. Accueil » Cours et exercices » Seconde générale » Ensembles d'entiers, arithmétique
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