La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. On a donc $\dfrac{1}{3} \ge \dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{4}$. Affirmation fausse. La fonction inverse n'est pas définie en $0$. On doit donner un encadrement quand $-2 \le x < 0$ et un autre quand $0 < x \le 1$. Affirmation vraie. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. Exercice 5
On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2}{x – 4} + 3$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;4[$. Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]4;+\infty[$. Dresser le tableau de variations de $f$. Correction Exercice 5
Le dénominateur ne doit pas s'annuler. Par conséquent $f$ est définie sur $\mathscr{D}_f=]-\infty;4[\cup]4;+\infty[$. Soit $u$ et $v$ deux réels tels que $u \dfrac{1}{v-4}$
Donc $\dfrac{2}{u-4} > \dfrac{2}{v-4}$
Finalement $\dfrac{2}{u-4} + 3 > \dfrac{2}{v-4} + 3$ et $f(u) > f(v)$
La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;4[$.
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On a $x – 6 < x – \sqrt{10} < 0$
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$. Par conséquent $\dfrac{1}{x – 6} >\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}$. $x \ge 3 \Leftrightarrow 4x \ge 12$ $\Leftrightarrow 4x – 2 \ge 10$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$. Par conséquent $\dfrac{1}{4x – 2} \le \dfrac{1}{10}$. Exercice 3
On considère la fonction inverse $f$. Calculer les images par $f$ des réels suivants:
$\dfrac{5}{7}$
$-\dfrac{1}{9}$
$\dfrac{4}{9}$
$10^{-8}$
$10^4$
Correction Exercice 3
$f\left(\dfrac{5}{7}\right) = \dfrac{7}{5}$
$f\left(-\dfrac{1}{9}\right) = -9$
$f\left(\dfrac{4}{9}\right) = \dfrac{9}{4}$
$f\left(10^{-8}\right) = 10^8$
$f\left(10^4\right) = 10^{-4}$
Exercice 4
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Si $3 \le x \le 4$ alors $\dfrac{1}{3} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{4}$. Si $-2 \le x \le 1$ alors $-0. 5 \le \dfrac{1}{x} \le 1$. Si $1 \le \dfrac{1}{x} \le 10$ alors $0, 1 \le x \le 1$. Correction Exercice 4
Affirmation fausse.
On considère la fonction inverse et sa courbe
représentative. Soit,, et quatre points de la courbe tels
que:
et négatifs et;
et positifs et. L'objectif est de comparer et d'une part;
et d'autre part. Comme la fonction inverse est strictement
décroissante sur l'intervalle et sur
l'intervalle:
si et sont deux
réels strictement négatifs, alors
équivaut
à
(l'inégalité change de sens);
réels strictement positifs,
alors équivaut
à (l'inégalité
change de sens). Exemple 1
Comparer et. 2 et 3 sont deux réels positifs. On commence par
comparer 2 et 3, puis on applique la fonction inverse:. L'inégalité change de sens car
la fonction inverse est strictement décroissante
sur. Exemple 2
À quel intervalle appartient lorsque appartient à? appartient à; or la fonction inverse est
strictement décroissante sur l'intervalle. Donc,
donc. Exemple 3
Donner un encadrement de sachant que appartient à. Ici, l'intervalle contient une partie
négative et une partie positive. Il faut étudier les
deux parties séparément.
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