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Feb
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Chapitre 12: Fonction inverse et fonctions homographiques
Cours Fonctions
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Cours Fonction Inverse Et Homographique Simple
Exercice 4
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;6[\cup]6;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{2x-12}$. Reproduire et compléter le tableau de valeur suivant:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&4&5&5, 5&6, 5&7&8 \\
f(x) & & & & & & & \\
\end{array}$$
Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère. Fonction homographique - Position de courbes - Maths-cours.fr. Déterminer graphiquement puis retrouver par le calcul l'antécédent de $-\dfrac{1}{3}$. Correction Exercice 4
f(x) &-\dfrac{1}{12} &-\dfrac{1}{4} &-\dfrac{1}{2} &-1 &1 &\dfrac{1}{2} &\dfrac{1}{4} \\
Graphiquement, un antécédent de $-\dfrac{1}{3}$ semble être $4, 5$. On cherche la valeur de $x$ telle que:
$\begin{align*} f(x) = -\dfrac{1}{3} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-12}= -\dfrac{1}{3} \\\\
& \Leftrightarrow 1 \times (-3) = 2x – 12 \text{ et} x \neq 6 \\\\
& \Leftrightarrow -3 + 12 = 2x \text{ et} x \neq 6 \\\\
& \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{2}
L'antécédent de $-\dfrac{1}{3}$ est donc $\dfrac{9}{2}$. Exercice 5
Résoudre les inéquations suivantes:
$\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0$
$\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0$
$\dfrac{3x}{4x+9} > 0$
$\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0$
Correction Exercice 5
Dans chacun des cas, nous allons étudier le signe du numérateur et du dénominateur puis construire le tableau de signes associé.
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Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier le signe d'une fonction homographique. Une fonction homographique est un façon compliquée de dire un quotient de deux fonctions linéaires. Comme un division est équivalente à une multiplication par l'inverse, les règles pour déterminer le signe d'une fonction homographique vont être les mêmes que pour un produit de deux fonctions affines, avec une exception: il faudra exclure la valeur annulatrice de c x + d cx+d du domaine de définition de f f. Ecrivons ce qu'on vient de dire mathématiquement: Définition Soient a a, b b, c c et d d quatre nombres réels tels que c ≠ 0 c \neq 0. Cours fonction inverse et homographique gratuit. La fonction f f définie par: f ( x) = a x + b c x + d f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d} est appelée fonction homographique. On remaquera que diviser a x + b ax+b par c x + d cx + d est équivalent de multiplier deux fonctions affines a x + b ax+b et 1 c x + d \dfrac{1}{cx+d}. Passons maintenant à la valeur qui annule le dénominateur, c'est-à-dire c x + d cx+d. Domaine de définition d'une fonction homographique Regardons maintenant comment calculer la valeur interdite et écrire le domaine de définition à partir de celle-ci: Propriété Soit la fonction homographique f ( x) = a x + b c x + d f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d} et D f D_f son ensemble de définition.
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La fonction f f n'est pas définie en la valeur où s'annule le dénominateur, c'est-à-dire où
c x + d = 0 cx+d = 0. Donc pour c x = − d cx = -d ou x = − d c x = -\dfrac {d}{c}. Le domaine de définition de f f est donc: D f = R \ { − d c} D_f = \mathbb{R} \backslash \{ -\dfrac {d}{c}\}, et − d c -\dfrac {d}{c} est appelée la valeur interdite. Faisons un exemple introductif: Exemple Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f ( x) = 5 x − 4 3 x + 12 f(x) =\dfrac{5x-4}{3x+12}. Solution Il suffit de calculer la valeur interdite:
On voit que c = 3 c=3 et d = 12 d=12, donc
− d c = − 12 3 = − 4 -\frac d c = -\frac {12} 3 = -4
d'où D f = R \ { − 4} D_f = \mathbb{R} \backslash \{-4\}. On peut aussi résoudre l'équation 3 x + 12 = 0 3x+12=0. 3 x + 12 = 0 3 x = − 12 x = − 12 3 = − 4. Fonctions usuelles : carré, inverse, homographique - Cours Maths Normandie. \begin{aligned}
&3x+12=0\\
&3x=-12\\
&x=\frac {-12} 3=-4. \end{aligned}
On retrombe donc sur D f = R \ { − 4} D_f = \mathbb{R} \backslash \{-4\}. Tableau de signes d'une fonction homographique Pour déterminer le signe d'une fonction homographique, on utilise exactement la même méthode que pour un produit de fonctions affines, sans oublier de calculer et de noter la valeur interdite.
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Soient les fonctions f f et g g définies par:
f ( x) = x − 2 x + 1 f\left(x\right)=\frac{x - 2}{x+1}
g ( x) = 3 x + 2 x − 1 g\left(x\right)=\frac{3x+2}{x - 1}
Quel est l'ensemble de définition de f f? De g g? A la calculatrice, tracer les courbes représentatives de f f et g g.
Lire graphiquement, les solutions de l'équation f ( x) = g ( x) f\left(x\right)=g\left(x\right). Retrouver par le calcul les résultats de la question 2. Résoudre graphiquement l'inéquation f ( x) ⩽ g ( x) f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)
Montrer que sur R \ { − 1; 1} \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1; 1\right\} l'inéquation f ( x) ⩽ g ( x) f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) est équivalente à:
x ( x + 4) ( x − 1) ( x + 1) ⩾ 0 \frac{x\left(x+4\right)}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)}\geqslant 0
A l'aide d'un tableau de signe, retrouver par le calcul le résultat de la question 4. Cours fonction inverse et homographique simple. Corrigé
f f est définie si et seulement si:
x + 1 ≠ 0 x+1\neq 0
x ≠ − 1 x\neq - 1
Donc D f = R \ { − 1} \mathscr D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\}
g g est définie si et seulement si:
x − 1 ≠ 0 x - 1\neq 0
x ≠ 1 x\neq 1
Donc D g = R \ { 1} \mathscr D_{g}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des 2 courbes.
Faux. $\dfrac{ax+b}{cx+d} = 0 \Leftrightarrow ax+b = 0$ et $cx+d \neq 0$ $\Leftrightarrow x = -\dfrac{b}{a}$ et $x \neq -\dfrac{d}{c}$
[collapse]
Exercice 2
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques? $f:x\mapsto \dfrac{2x}{x+7}$
$g:x\mapsto \dfrac{2x-4}{x-2}$
$h:x \mapsto \dfrac{3x+8}{4+\sqrt{2}}$
$i:x \mapsto 5 – \dfrac{2x}{x – 8}$
Correction Exercice 2
On utilisera la notation $\dfrac{ax+b}{cx+d}$
$a=2$, $b=0$, $c=1$ et $d=7$. On a bien $c \neq 0$ et $ad-bc = 14 \neq 0$. $f$ est bien une fonction homographique. $a=2$, $b=-4$, $c=1$ et $d=-2$. On a bien $c \neq 0$ mais $ad-bc=-4 -(-4) = 0$. $g$ n'est pas une fonction homographique. Cours fonction inverse et homographique des. $a=3$, $b=8$, $c=0$ et $d=4+\sqrt{2}$. Puisque $c = 0$, la fonction $h$ n'est pas homographique. $i(x) = \dfrac{5(x-8) – 2x}{x – 8} = \dfrac{5x – 40 – 2x}{x – 8} = \dfrac{3x – 40}{x – 8}$
$a=3$, $b=-40$, $c=1$ et $d=-8$. On a bien $c \neq 0$ et $ad-bc = -24 + 40 = 16 \neq 0$. $i$ est bien une fonction homographique. Exercice 3
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par:
$$f(x) = 2 + \dfrac{3}{x – 5} \qquad g(x) = 3 – \dfrac{x}{x – 7}$$
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et $g$.
La méthode est la suivante: Calculer la valeur qui annule a x + b ax+b. Tracer sur la première ligne le tableau de signes du premier terme a x + b ax+b, ainsi que sa valeur annulatrice. Calculer la valeur qui annule c x + d cx+d. Fonctions homographiques: le cours vidéo. ← Mathrix. Sur la deuxième ligne, tracer le tableau de signes du second terme c x + d cx+d, ainsi que sa valeur interdite. Sur la troisième ligne, le signe du produit ( a x + b) ( c x + d) (ax+b)(cx+d) s'obtient par l'application de la règle des signes de haut en bas ↓ \downarrow. Attention: La fonction homographique n'est pas définie en la valeur interdite, on met un double trait au niveau de cette valeur dans la dernière ligne du tableau de signe. Faisons maintenant quelques exemples pour tester la méthode: Exemple Dresser un tableau de variation de ces deux fonctions homographiques:
x − 2 3 x − 9; 4 x + 1 1 − x \frac{x-2}{3x-9} \qquad; \qquad \frac{4x+1}{1-x} Solution Commencons par x − 2 3 x − 9 \dfrac{x-2}{3x-9}: On détermine la valeur où s'annule x − 2 x-2: x − 2 = 0 x-2=0 équivaut à x = 2 x=2.