Degrés 0 et 1 [ modifier | modifier le code]
Les cas des polynômes à coefficients réels de degré 0 ou 1 sont sans intérêt: un polynôme constant admet aucune ou une infinité de racine, un polynôme à coefficients réels de degré 1 admet une unique racine réelle. Degré 2 [ modifier | modifier le code]
Formalisation [ modifier | modifier le code]
Si est un polynôme de degré 2, alors la courbe d'équation y = P 2 ( x) dans un repère ( Oxy) est une parabole, qui présente au plus deux intersections avec l'axe réel des abscisses. Le cas où il n'y a qu'une seule intersection correspond à la présence d'une racine réelle double de P 2. Lorsqu'il n'y a aucune intersection avec l'axe des réels, les deux racines de P 2 sont strictement complexes. Racines complexes conjuguées. La question est de les localiser dans le repère ( Oxy) assimilé au plan complexe: si elles ne sont pas loin du sommet de la parabole, au fur et à mesure que la parabole s'éloigne de l'axe, quel est le chemin pris par ces racines complexes? Considérons les complexes de la forme z = x + i y et calculons leur image par P 2:
Étude [ modifier | modifier le code]
On cherche des images réelles sur l'axe des abscisses, il suffit donc d'annuler la partie imaginaire.
Racines Complexes Conjugues Du
Degré 4 [ modifier | modifier le code]
Contrairement au degré 3, il n'y a pas forcément une racine réelle. Toutes les racines peuvent être complexes. Les résultats pour le degré 4 ressemblent à ceux pour le degré 3, avec l'existence de branches à image réelle sous forme de courbes complexes solution d'équation en y 2. Ces courbes sont donc symétriques, mais leur existence n'est pas assurée. Racines complexes conjugues des. Les branches sont orientées dans le sens inverse de la courbe réelle. Conclusion [ modifier | modifier le code]
La visualisation des branches d'image réelle pour le degré 2 est intéressante et apporte l'information recherchée: où sont les racines complexes. La visualisation des branches d'image réelle pour les degrés supérieurs à 3 - quand elle est possible - n'apporte pas beaucoup, même si elle peut indiquer - quand elle est possible - où sont les racines complexes. Bibliographie [ modifier | modifier le code]
LOMBARDO, P. NOMBRES ALGÉBRIQUES PRÉSENTÉS COMME SOLUTIONS DE SYSTÈMES D'ÉQUATIONS POLYNOMIALES.
Racines Complexes Conjuguées
Ou sa conséquence:
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si
ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. posons
z = x + yi
Alors, z solution de
Il faut maintenant mettre ce membre sous forme algébrique. La solution de l'équation est donc:
3/ Equations du second degré dans ℂ
Rappel dans
ℝ
sur un exemple:
Soit l' équation
x 2 − 2x -3 = 0
calcul du discriminant
donc
Δ
possède deux racines opposées réelles
par conséquent, l'équation admet: deux solutions réelles
Transposition à ℂ
z 2 −2z +2 =0
donc Δ possède deux racines opposées imaginaires pures:
par conséquent, l' équation admet: deux solutions complexes. Il est à noter que ces deux racines complexes sont conjuguées. Racines complexes conjugues dans. Cas général et bilan
Soit l'équation
avec a, b et c élément de ℝ.
possède toujours
dans ℂ
deux racines opposées:
r 1 et r 2
et l' équation a pour solution(s):
Qui ne peuvent pas être égale car on aurait alors
d'où
z 1
ce qui est impossible avec
Δ. 4/ Représentation d'un nombre complexe par un vecteur du plan
A partir de tout nombre complexe:
Il est possible de construire un vecteur
du plan de coordonnées
pour cela, il faut tout d'abord doter le plan d'une base, qui ne sera pas notée
mais
pour éviter toute confusion avec i.
Racines Complexes Conjugues De
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Racines Complexes Conjugues Des
Exercice 10
Résoudre dans les équations (écrire la solution sous forme algébrique):
Voir aussi:
Accueil
Soutien maths - Complexes
Cours maths Terminale S
Dans ce module, étude de la résolution d'équations dans l'ensemble des complexes et de la représentation des nombres complexes dans le plan. 1/ Equations du premier degré dans ℂ
On résout les équations du premier degré dans ℂ de même que dans ℝ
Exemple
Résoudre l' équation
2iz + 3 = 4i + 5z
L'objectif étant de trouver la solution et de la mettre sous forme algébrique. Complexes, équations - Cours maths Terminale - Tout savoir sur les complexes - équations. La stratégie ici, consiste à manipuler l'équation afin d'avoir z dans un seul membre et de pouvoir le mettre en facteur. En enlevant 5z puis 3 aux deux membres de l'égalité, on obtient:
Attention! Avant d'utiliser son conjugué, il faut mettre ce nombre (2i - 5) sous forme algébrique. La solution de l' équation est donc
2/ Equations utilisant la forme algébrique
Pour résoudre certaines équations dans ℂ, il est parfois nécessaire de mettre l'inconnue sous forme algébrique, pour pouvoir utiliser l'une des propriétés suivantes:
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
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