Soit $z$ un nombre complexe. On appelle série géométrique de raison $z$
la série de terme général $z^n$. Ces sommes partielles sont données par:
$$S_n=1+z+\cdots+z^n=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}&\textrm{si}z\neq 1\\
\displaystyle n+1&\textrm{si}z= 1\\
\end{array}\right. Formules mathématiques — artymath. $$
On obtient donc facilement que:
si $|z|<1$, la série converge, de somme $\frac 1{1-z}$;
si $|z|\geq 1$, la série est (grossièrement) divergente, c'est-à-dire que son terme général ne tend pas vers 0.
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Démonstration
Partons du nombre:
Multiplions-le par l'inverse de la raison de la suite, à savoir 10. Soustrayons maintenant le nombre S initial:
Donc, on a:
CQFD! Une série de zéros peut se remplacer par une série de 9 en retranchant 1 au chiffre précédent:
Car en utilisant le résultat ci-dessus:
Le développement des décimaux à chiffres périodiques [ modifier | modifier le wikicode]
Après avoir vu le cas du développement de l'unité, on peut passer à des décimaux périodiques de la forme: ou. Somme série géométrique formule. Par exemple, le nombre est la somme totale de la série géométrique suivante:. On voit que cet exemple est une suite géométrique de raison l/10 et de premier terme 7/10. La formule d'une série géométrique nous dit que cette série vaut:
Si on applique le même raisonnement aux nombres dont un seul chiffre est répété infiniment, on trouve:
On voit clairement qu'il y a un certain motif qui se dégage, un motif suffisamment évident pour ne pas le détailler plus.
105)
si nous notons non pas n
la valeur n -ème terme mais,
le développement que nous avions fait pour la série
de Gauss nous amène alors à:
(11. 106)
et si nous notons le premier
terme 1 de la Série de Gauss par,
nous avons alors:
(11. 107)
ce qui nous donne la somme
partielle des n -termes d'une suite arithmétique de
raison r quelconque (ou plus simplement: la somme partielle
de la série arithmétique de raison r)
Remarque: Le lecteur aura observé que la raison r
n'apparaît pas dans la relation. Effectivement, en reprenant
(toujours) le même développement fait que pour la
série
de Gauss, le terme r se simplifie. Formule série géométriques. GÉOMÉTRIQUES
De même, avec un somme
géométrique où nous avons pour rappel:
(11. 108)
nous avons
donc:
(11. 109)
La dernière relation
s'écrit (après simplification):
(11. 110)
et si,
nous avons:
(11. 111)
ce qui peut s'écrire
en factorisant:
(11. 112)
Exemple:
Soit la suite de raison q =2 suivante:
(11. 113)
pour calculer la somme des quatre premiers termes,
nous prenons la puissance de 2 équivalent
(le zéro n'étant pas pris en compte).
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