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Mis à jour: 9 décembre 2019
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Le chapitre traite des thèmes suivants: fonction exponentielle
Un peu d'histoire
La naissance de la fonction exponentielle se produit à la fin du XVIIe siècle. L'idée de combler les trous entre plusieurs puissances d'un même nombre est très ancienne. Ainsi trouve-t-on dans les mathématiques babyloniennes un problème d'intérêts composés où il est question du temps pour doubler un capital placé à 20%. Puis le mathématicien français Nicolas Oresme (1320-1382) dans son De proportionibus (vers 1360) introduit des puissances fractionnaires. Nicolas Chuquet, dans son Triparty (1484), cherche des valeurs intermédiaires dans des suites géométriques en utilisant des racines carrées et des racines cubiques et Michael Stifel, dans son Arithmetica integra (1544) met en place les règles algébriques sur les exposants entiers, négatifs et même fractionnaires. Fonction exponentielle - Fiche de cours terminale. Il faut attendre 1694 et le mathématicien français Jean Bernouilli (1667-1748) pour une introduction des fonctions exponentielles, cela dans une correspondance avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Cours Sur Les Fonctions Exponentielles Terminale Es 7
La fonction exponentielle de base q est convexe sur \mathbb{R}. II L'exponentielle de base e
Fonction exponentielle de base e
La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée \exp, est la fonction définie sur \mathbb{R} par: \exp\left(x\right) = e^{x}
où e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1. Pour tous réels x et y: \exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right) e=\exp\left(1\right) \approx 2{, }718. L'écriture courante de \exp\left(x\right) est e^{x}. Les fonctions (terminale). Pour tout réel x: e^{x} \gt 0 C Les propriétés algébriques Soient deux réels x et y: e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances: e^{x+y} = e^{x} e^{y} e^{-x} =\dfrac{1}{e^x} e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^{y}} \left(e^{x}\right)^{y} = e^{xy} III Etude de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}.
Propriété et définition:
Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelée fonction exponentielle et est notée. Démonstration:
Soit une fonction solution de (E) et on pose
est défini sur, dérivable et:
donc est constante sur. Pour tout réel, donc pour tout réel, et. Conséquence:
La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur (car dérivable) et ne s'annule pas. II. Cours sur les fonctions exponentielles terminale es 8. Propriété algébrique de l'exponentielle
Propriété 1
Pour tous réels et
Démonstration de la propriété 1:
Soit la fonction
est dérivable sur. et
d'où car pour tout réel donc Propriété 2
Démonstration de la propriété 2:
(On procède par raisonnement par récurrence)
Pour,
Notations simplifiées:
n'est pas rationnel (), il est transcendant et irrationnel. alors, Propriétés
Par extension, si, sera noté alors les propriétés vues s'écrivent:
Remarque:
donc pour tout réel, III. Étude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur. La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1; e).
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