Suites et séries
Enoncé Montrer que la formule suivant définit une fonction holomorphe dans un
domaine à préciser:
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}. $$
Enoncé Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$ et soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans $\Omega$ qui converge uniformément sur les compacts de $\Omega$ vers $f$, qui est donc holomorphe. On suppose que les $(f_n)$ ne s'annulent pas sur $\Omega$ et on veut prouver que ou bien $f$ ne s'annule pas, ou bien $f$ est identiquement nulle. Suites et intégrales exercices corrigés france. On suppose $f$ non-identiquement nulle et on fixe $a\in\Omega$. Justifier l'existence d'un réel $r>0$ tel que $\overline{D}(a, r)\subset\Omega$ et $f$ ne s'annule pas sur le bord du disque $D(a, r)$ (on pourra utiliser le principe des zéros isolés). Justifier l'existence de $\veps>0$ tel que, pour tout $z\in\partial D(a, r)$, $|f(z)|\geq\varepsilon. $
Justifier l'existence de $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et tout $z\in\partial D(a, r)$, $|f_n(z)|\geq \varepsilon/2$.
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Corpus Corpus 1 Intégration matT_1406_07_02C Ens. spécifique 18 CORRIGE France métropolitaine • Juin 2014 Exercice 1 • 5 points Partie A Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par 1 la courbe représentative de la fonction f 1 définie sur ℝ par: f 1 ( x) = x + e – x. > 1. Justifier que 1 passe par le point A de coordonnées (0 1). > 2. Déterminer le tableau de variations de la fonction f 1. On précisera les limites de f 1 en + ∞ et en - ∞. Partie B L'objet de cette partie est d'étudier la suite ( I n) définie sur ℕ par: > 1. Suites et intégrales exercices corrigés au. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, pour tout entier naturel n, on note n la courbe représentative de la fonction f n définie sur ℝ par f n ( x) = x + e – nx. Sur le graphique ci-après on a tracé la courbe n pour plusieurs valeurs de l'entier n et la droite d'équation x = 1. a) Interpréter géométriquement l'intégrale I n. b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite ( I n) et sa limite éventuelle.
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Écrit par Luc Giraud le 23 juillet 2019. Publié dans Exercices TS
Pour réviser…
Intégrer, c'est avant tout calculer des primitives, ou des intégrales. Il faut absolument réviser cela. Exercice 1 - Reconnaissance de formes
Enoncé Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré: \begin{array}{lll} \mathbf 1. \ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3, \ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2. \ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+1)^3}, \ I=]-\infty, -2[\\ \mathbf 3. \ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}}, \ I=]-\infty, 0[&&\mathbf 4. \ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)}, \ I=]1, +\infty[. Exercices corrigés -Suites, séries et intégrales de fonctions holomorphes. \end{array}
Exercice 2 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples
Enoncé Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in]1, +\infty[$. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in]1, +\infty[, \ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}. $$
En déduire la primitive de $f$ sur $]1, +\infty[$ qui s'annule en 2. Ceux qui ont du courage pourront résoudre l'exercice suivant, sur le même modèle.
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On a prouvé que est de classe sur. Cas d'une limite nulle. On traduit la limite:
si,. On suppose que
On introduit
Ensuite. Comme,
puis si. On a prouvé que
Cas général, on pose, admet pour limite en
et vérifie
On en déduit que. Correction de l'exercice sur les intégrales de Wallis en Maths Sup
En intégrant par parties avec les fonctions de classe sur:
et.. En utilisant, on obtient par linéarité de l'intégrale. donc. Exercices intégration Maths Sup : exercices et corrigés gratuits. Comme la suite de terme général converge vers,
et comme,
on a:. Comme, on obtient l'équivalent énoncé. On utilise
pour obtenir
Correction de l'exercice sur l'application du lemme de Lebesgue
Comme, donc. donc par sommation et télescopage sachant que:. Avec un peu de trigonométrie,
On a donc écrit
où est une fonction de classe sur. Par le lemme de Lebesgue,. est continue sur..
et,
on prolonge par continuité en 0 en posant. est de classe sur et
Comme, on écrit le développement limité de à l'ordre 4 en. est continue sur, de classe sur et admet pour limite en, donc par le théorème de la limite de la dérivée, est de classe sur et.
On vient aussi d'obtenir qu'elle était minorée par 0. Donc en tant que suite décroissante et minorée, la suite (W n) converge. Trouvons maintenant sa limite.
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