Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en ECG1
Matrices inversibles, produit de matrices & polynôme d'une matrice
Méthode 1: Produit de matrices. Rappelons que la notation désigne l'ensemble des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Dans le cas où on identifie avec
Soient et deux matrices. Fiche résumé matrices excel. Pour que le produit ait un sens, il faut et il suffit que Dans ce cas,
Dans le cas particulier où et sont deux matrices carrées d'ordre le produit est défini et est une matrice carrée d'ordre
Il faut donc retenir que:
le produit est donc possible si et seulement si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de
si et
alors o\`u si et on a
dans le cas particulier où est une matrice colonne alors le produit est une matrice colonne dont le nombre de lignes est égal au nombre de lignes de
Si et alors avec, pour
Exemple: On pose et
Calculer les matrices et si cela est possible. Réponse:
Le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de donc le produit existe et
=
Méthode 2: Polynôme d'une matrice.
Fiche Résumé Matrices 2
Une matrice de taille (ou format) est un tableau de nombres réels à lignes et colonnes. Cela
permet de:
✔ définir de nouvelles opérations: sommes de matrices, produits de matrices et multiplication d'une matrice par un réel;
✔ réaliser des calculs rapidement avec une grande quantité de valeurs;
✔ modéliser les transformations du plan et déterminer les coordonnées d'un point image par une de ces transformations. Une matrice carrée de taille est inversible lorsqu'il existe une matrice carrée de taille telle que. Cela permet de:
✔ résoudre des systèmes d'équations linéaires: si, alors. Un graphe est une représentation composée de sommets et d'arêtes. Les matrices des fiches d'identité des oeuvres d'art ~ La Classe des gnomes. Cela permet de:
✔ modéliser des situations relevant de flux entre différents lieux. La matrice d'adjacence d'un graphe donne le nombre d'arêtes reliant les différents sommets entre eux. Cela permet de:
✔ résumer un graphe de façon synthétique;
✔ déterminer le nombre de chaînes ou de chemins de longueur en calculant.
Fiche Résumé Matrices Excel
On la note $\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)$. L'introduction de la matrice d'une application linéaire permet de connaitre facilement l'image d'un vecteur
par cette application linéaire:
Proposition:
Soit $x\in E$ de matrice $X$ dans la base $\mathcal B$ et $y=u(x)$ de matrice $Y$ dans la base $\mathcal C$. Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I. - Algèbre - Matrices. Alors on a
$$Y=\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)X. $$
Théorème:
L'application
\begin{eqnarray*}
\mathcal L(E, F)&\to &\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)\\
u&\mapsto&\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)
\end{eqnarray*}
est un isomorphisme d'espace vectoriel. La composée d'applications linéaires correspond au produit de matrices. Plus précisément, si $u\in \mathcal L(E, F)$ et
$v\in\mathcal L(F, G)$, alors
$$\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal D)}(v\circ u)=\textrm{Mat}_{(\mathcal C, \mathcal D)}(v) \textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u). $$
En particulier, l'application
\mathcal L(E)&\to &\mathcal M_{p, p}(\mathbb K)\\
u&\mapsto&\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal B)}(u)
est un isomorphisme d'anneaux.
Fiche Résumé Matrices De La
Il est stable par produit. P2: L'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires supérieures à coefficients dans est un s. Il est stable par produit. P3: Il en est de même de l'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires inférieures à coefficients dans. 6. Matrices inversibles en Maths Sup
P: On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans inversibles. est un groupe appelé groupe linéaire d'ordre à coefficients dans. D. Matrices et applications linéaires
1. Matrice d'une famille de vecteurs
Soit un -espace vectoriel de base. Soit une famille de. La matrice de la famille dans la base est la matrice de type telle que pour tout, la -ème colonne de est formée des coordonnées de dans la base. Fiche résumé matrices 3. 2. Matrice de
D1: La matrice de dans les bases de et de est une matrice notée
ou
de type
Pour retenir: Les coordonnées de dans la base forment la -ème colonne de. P1: L'application,
est un isomorphisme d'espaces vectoriels..
3. Matrice d'un endomorphisme
D2: La matrice de dans la base de est une matrice carrée d'ordre où que l'on note ou.
Exemple: Calculer leur puissance -ième de
Ecrivons avec la matrice identité et On remarque que et Ainsi pour, en appliquant la formule du binôme de Newton (possible car et commutent), on a. Pour on a pour la relation trouvée ci-dessus est donc vraie pour tout entier
Méthode 4: Appliquer l'algorithme du pivot de Gauss. Il est fondamental de savoir résoudre de fa\c{c}on efficace un système d'équations, c'est un passage obligé en mathématiques et malheureusement rébarbatif. C'est grâce à cela que l'on peut inverser des matrices. Il est important de savoir le faire et sans erreur de calculs! Fiche résumé matrices 2. Le point de départ est le système suivant (pas nécessairement carré bien qu'en pratique, ils le sont tous! ) avec pour inconnues les autres coefficients et sont supposés connus. On suppose que l'un des coefficients pour est non nul. En changeant éventuellement l'ordre des équations, on peut se ramener au cas o\`u On dit que est le premier pivot. En pratique, on choisit un pivot simple, égal à lorsque c'est possible.
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