f (k) −
k
k −1 f (t)dt
=
n
k=2
f (k) − f (2) −
2
f (t)dt
f (k) − f (2) − ln ln n + ln ln 2. Comme la suite (S n) n 3 converge, on en déduit que la suite
f (k) − ln ln n
n 3
converge également. Exercice 4. 15
Séries de Bertrand
Etudier la série de terme général u n = 1
n a (ln n) b (a, b ∈ R) en comparant à une
série de Riemann lorsque a =1 et à une intégrale lorsque a =1. Application: étudier les séries de termes généraux v n = 1
ln n! puis w n = n ln n n − 1.
a =1 La fonction définie sur [ 2, +∞[ par f (x)= 1
x (ln x) b est dérivable et l'on
obtient f (x)= − ln x + b
x 2 (ln x) b+1. Donc f est négative sur [ e − b, + ∞ [ ∩ [ 2, + ∞ [ et
f est une fonction décroissante positive sur un intervalle de la forme [ A, + ∞ [. Cours et méthodes Intégrales généralisées MP, PC, PSI, PT. On
obtient facilement une primitive F de f:
F (x)= (ln x) 1− b
1 − b si b =1 et F (x)=ln(ln x) si b =1. Donc on constate que F possède une limite finie en + ∞ si et seulement si b > 1,
et le critère de comparaison à une intégrale montre que la série de terme général
1/(n(ln n) b) converge si et seulement si b > 1.
Intégrale De Bertrand France
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On définit alors une application de la manière suivante. Pour tout la restriction de à l'intervalle est définie par les conditions:
Faire une figure, puis montrer que l'intégrale impropre converge mais que n'admet pas de limite en
Cet exemple est à comparer avec celui donné dans cet article. On pose, pour tout: Montrer que et sont convexes. Pour la convergence de l'intégrale (doublement impropre qui définit, voir par exemple ici). Soit logarithmiquement convexe (ce qui signifie que est convexe) et telle que: Montrer que (même notation qu'à l'exercice précédent). Intégrale de bertrand france. Cliquer ici pour accéder aux indications Cliquer ici pour accéder aux solutions
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Montrer que et montrer qu'il existe tel que sur et conclure par minoration à la divergence. 5. Intégrale de bertrand francais. 2 sur 🧡
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les séries entières
le dénombrement
les intégrales à paramètre
les variables aléatoires
les probabilités
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Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe:
Théorème de comparaison (intégrales généralisées)
Soient et deux fonctions continues par morceaux sur telles que. Si converge, alors converge aussi. Si diverge, alors diverge aussi. Le deuxième résultat est la contraposée du premier. Soient et. Par comparaison d'intégrales,. Or si converge, alors est majorée, ce qui implique d'après que aussi et donc (grâce au lemme) que converge. Montrer que converge. Pour tout, on a donc. Or converge. Donc converge aussi. BERTRAND : Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, vol. I, 1864 et vol. II, 1870 - ÉDITIONS JACQUES GABAY. On rappelle que le « problème » est sur la borne d'en haut (c'est donc en que l'on effectue la comparaison de et):
Corollaire: intégration des relations de comparaison
Soient et deux fonctions continues par morceaux et positives sur. On suppose que (ce qui est vrai en particulier si). Si, alors les intégrales et sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes). Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.
BERTRAND: Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, vol. I, 1864 et vol. II, 1870 - ÉDITIONS JACQUES GABAY
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Publiée le: 03/06/2016
Durée: 05:03
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Vidéo catégorisée dans: Blonde, Exhibition