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Une famille quelconque de vecteurs est libre si toute sous-famille finie extraite est libre. Une famille qui n'est pas libre est une famille liée. Exemple: Soit $(P_1, \dots, P_n)$ une famille de $\mathbb K[X]$
avec $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Alors $(P_1, \dots, P_n)$ est une famille libre. Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est génératrice de $E$
si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire des $(x_i)_{i\in I}$. Propriétés des familles libres et génératrices:
Soit $X$ et $Y$ deux familles de vecteurs de $E$ avec $X\subset Y$. si $Y$ est libre, alors $X$ est libre;
si $X$ est génératrice, alors $Y$ est génératrice. si $X$ est une famille génératrice, et si $x\in X$ est combinaison linéaire des vecteurs de $X\backslash\{x\}$, alors $X\backslash \{x\}$ est
une famille génératrice. Cours sur les hommes aiment. si $X$ est une famille libre, et si $x\in E$ n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de $X$, alors $X\cup\{x\}$ est libre. Sous-espaces vectoriels
Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est non-vide et si $F$ est stable par $+$ et $\cdot$.
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Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un -. \left(+11\right) - \left(-16\right) + \left(-4\right) = 11 + 16 - 4 = 27 - 4 = 23 Pour calculer une séquence d'additions et soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire. 22 - 19 + 4 + 18 - 5 = \underbrace{22 + 4 + 18}_{44} \underbrace{- 19 - 5}_{-24} = 44 + \left(-24\right) = 44 - 24 = 20 III Comparaison de nombres relatifs Lorsque l'on compare deux nombres relatifs, trois cas se présentent. Cas 1 Les deux nombres sont positifs Si deux nombres sont positifs, on peut utiliser la règle usuelle pour les comparer. Cas 2 Les deux nombres sont négatifs On considère deux nombres négatifs -a et -b. Cours sur les sommes 2. On a alors: Si a\lt b, alors -a\gt -b Si a\gt b, alors -a\lt -b Cas 3 Un des deux nombres est positif et l'autre est négatif Le nombre négatif est toujours inférieur au nombre positif. On cherche à comparer 2 et 5. Les deux nombres sont positifs, donc: 2\lt 5 On cherche à comparer -2 et -5.