Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Tableaux de signe [ modifier | modifier le wikicode]
Définition
Étudier le signe d'une expression algébrique f(x) dépendant de x,
c'est déterminer pour quelles valeurs de x on a
et pour quelles valeurs de x on a. Étudier le signe d'une fonction f revient à étudier le signe de l'expression. Une étude de signe peut se résumer dans un tableau de signe
Signe d'un binôme du premier degré [ modifier | modifier le wikicode]
Théorème
Le signe d'un binôme du premier degré est donné par les tableaux de signe suivants, selon le signe du coefficient dominant a. Si:
Si
Exemples [ modifier | modifier le wikicode]
Construire les tableaux de signe des binômes suivants:
Signe d'un produit [ modifier | modifier le wikicode]
Propriété
Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, on utilise la règle des signes. Exemple [ modifier | modifier le wikicode]
Pour étudier le signe du produit, on construit un tableau à 4 lignes:
Exercice [ modifier | modifier le wikicode]
Étudier le signe des produits suivants:
Signe d'un quotient [ modifier | modifier le wikicode]
Le signe d'un quotient s'étudie comme celui d'un produit, à ceci près qu'on exclut par une "double-barre" les valeurs interdites.
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Tableau De Signe D Une Fonction Du Second Degré St
1. Fonction polynôme de degré deux
b. Représentation graphique
La courbe représentative d'une fonction
polynôme définie par est une parabole
dont le sens dépend du signe du nombre, coefficient de. Exemples
Si, en vert, la parabole est
tournée vers le haut. Si, en bleu, la parabole est
tournée vers le bas. 2. Racine d'une fonction polynôme
c. Lien avec la représentation graphique
Les racines d'une fonction polynôme de
degré 2 correspondent aux abscisses des
points où la parabole coupe l'axe des
abscisses. En vert, possède
2 racines: 0 et 4. En bleu, possède
1 racine: –2. En orange, ne possède aucune
racine. 3. Forme factorisée d'une fonction polynôme
a. Cas d'une fonction polynôme admettant deux
racines distinctes
b. Cas d'une fonction polynôme admettant une
seule racine
Lorsqu'une fonction
polynôme d'expression
admet
1 racine, alors son expression
factorisée est. 4. Signe d'une fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré deux
d'expression change de signe entre ses
racines et. Il existe 2 possibilités en fonction du signe
de:
Si:
Si:
Dans ce cas, les nombres, et, suivant le vocabulaire des polynômes, sont respectivement appelés coefficients du second degré, du premier degré et terme constant. Les termes, et sont les monômes respectivement de degré 2, 1 et 0. Sous cette forme constituée de trois monômes, la fonction est souvent appelée trinôme du second degré. Forme canonique [ modifier | modifier le code]
Toute fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique, où la variable x n'apparaît qu'une seule fois. Chacune des deux expressions suivantes peut être nommée forme canonique, ces expressions ne diffèrent que par une factorisation par a:
Les nombres et correspondent respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du sommet de la parabole représentative du trinôme. Le nombre, quant à lui, est appelé discriminant et souvent noté. En effet,
En appliquant la première identité remarquable, on a:
Les formes canoniques sont particulièrement intéressantes car elles permettent d'écrire la fonction du second degré comme une composée de fonctions affines avec la fonction carré.
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