Etudes de fonctions rationnelles et irrationnelles
Secondaire II | Mathématiques niveau avancé | Troisième année scolaire post-obligatoire | Exercices
avec corrigés
a3 - Dérivées II (renforcé): études de fonctions rationnelles
et irrationnelles
Ÿ Matières
Détermination des asymptotes verticales et affines. Usage de la dérivée seconde. Etude de fonctions polynomiales, rationnelles et irrationnelles. Études de fractions rationnelles avec corrigés. Ÿ Lien vers la page mère: "Exercices corrigés": // Ÿ Exercice 1
Faites une étude complète, avec usage de la dérivée seconde, de la fonction
f HxL =
x3
1
+
3
x2
-1
2
à l'exception des zéros de f.
Ÿ Exercice 2
On donne la fonction
f HxL = x3 + b x2 + c x
où b et c sont deux constantes. Calculer les valeurs qu'il faut attribuer à b et c pour que la fonction possède un
extremum en x = 3 et que la tangente à f en x = 3 coupe le graphe de la fonction f en x = 1. Ÿ Exercice 3
Etudier la fonction
- 4 x3
-x + 2
en traitant les points suivants:
a) domaine de définition;
b) zéro(s) et signe de f;
c) limites et asymptotes (verticales et affines);
d) extremums et tableau de variations (sans faire usage de la dérivée seconde);
e) graphique.
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Fonctions Rationnelles Exercices Corrigés Dans
Généralités
Enoncé Démontrer qu'il n'existe pas de fraction rationelle $F$ tel que $F^2=X$. Enoncé Soit $F\in\mathbb K(X)$. Montrer que si $\deg(F')<\deg(F)-1$, alors $\deg(F)=0$. Enoncé Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. Déterminer les racines
et les pôles de $(X^p-1)/(X^q-1)$, en précisant leur ordre de multiplicité. Enoncé Soit $F=P/Q\in\mathbb C(X)$ une fraction rationnelle, avec $P\wedge Q=1$, telle que $F'=1/X$. Démontrer que $X|Q$. Soit $n\geq 1$ tel que $X^n|Q$. Démontrer que $X^{n}|Q'$. Conclure. Enoncé Soit $R(X)=\frac{P(X)}{Q(X)}$ une fraction rationnelle de $\mathbb R[X]$ avec $P\wedge Q=1$ et telle que $P(n)\in\mathbb Q$ pour une infinité d'entiers $n\in\mathbb N$. Fonctions rationnelles exercices corrigés francais. On veut démontrer que $R(x)=\frac{P_1(X)}{Q_1(X)}$ où $P_1, Q_1\in\mathbb Z[X]$. On note $\omega(P)=\deg(P)+\deg(Q)$. Démontrer le résultat si $\omega(R)=0$. Soit $d\geq 0$. On suppose que le résultat est vrai pour toute fraction rationnelle $R$ tel que $\omega(R)\leq d$ et on souhaite le prouver pour toute fraction rationnelle telle que $\omega(R)=d+1$.
}\quad\frac{1}{(X-1)(X^n-1)}
Applications
Enoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac{1}{X(X+1)(X+2)}$. En déduire la limite de la suite $(S_n)$ suivante: $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$. Enoncé Soit $P\in\mathbb R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 1$ possédant $n$ racines distinctes $x_1, \dots, x_n$ non-nulles. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle \frac1{XP(X)}$. En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k P'(x_k)}=\frac{-1}{P(0)}$. Enoncé Soit $n\geq 1$, $a_0, \dots, a_n, b_0, \dots, b_n$ des réels et $P$ le polynôme trigonométrique défini par
$$P(x)=\sum_{k=0}^n\big(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\big). $$
Démontrer que $P$ admet au plus $2n$ racines dans $[0, 2\pi[$. Enoncé Soit $P(X)=\prod_{k=1}^{n}(X-x_k)\in\mathbb R_n[X]$ un polynôme scindé à racines simples de degré $n\geq 2$. Décomposer en éléments simples $1/P$. Fonctions rationnelles exercices corrigés dans. En déduire la valeur de $\sum_{k=1}^n \frac1{P'(x_k)}$. Décomposer en éléments simples la fraction $\frac{P'}P$, où $P$ est un polynôme de $\mathbb C[X]$.
La préparation sur chantier
Réaliser une maçonnerie de qualité commence déjà avec le stockage des briques livrées sur chantier. Il est conseillé de les protéger contre la pluie et l'humidité ascendante du sol. Comme les produits de terre cuite sont fabriqués à base de matières premières naturelles, il n'est jamais exclu que l'on observe de légères variations de couleur et de dimensions entre des productions successives d'une même sorte de briques. Pour que ces variations ne puissent conduire à des taches de couleur ou d'autres irrégularités dans la maçonnerie de parement, il y a lieu de veiller:
à l'approvisionnement de la totalité des briques nécessaires sur le chantier dès le début de la maçonnerie. Ainsi, les briques livrées sont issues d'une même fabrication. à l'utilisation simultanée de minimum 5 palettes différentes. Briques de parement anciennes les. au mélange des palettes de la dernière livraison avec celles de la précédente, lors d'une livraison en plusieurs phases. au fait qu'en cas de supplément de commande ou de livraisons multiples il y ait encore assez de palettes de la fourniture précédente pour mélanger les briques à celles de la livraison suivante.
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Il existe néanmoins quelques précautions simples pour minimaliser ce risque (Partant du principe qu' une maçonnerie fraîche détrempée est une cause importante):
à la fin de chaque journée de travail, la maçonnerie fraîche doit être protégée à l'aide d'une couche imperméable (film plastique). Cette dernière doit recouvrir au moins une hauteur de 60 cm et être fixée de manière suffisamment solide pour résister au vent (bien permettre la ventilation)
installer des gouttières provisoires pour éviter que la maçonnerie devienne trop humide
par temps de pluie, ne pas maçonner.
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La brique ancienne est indispensable pour restaurer un mur, et ainsi conserver toute son authenticité. Comme pour la tomette ancienne, la couleur de brique dépendra de la cuisson de la terre-cuite. Selon la cuisson, elle disposera de propriété de résistance différente. La terre cuite est obtenue après la cuisson de l'argile.
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