En revanche, la plupart des extensions élémentaires de K ne vérifient pas cette propriété de stabilité. Ainsi, si on prend pour corps différentiel L = K (exp(-x 2)) (qui est une extension exponentielle de K), la fonction d'erreur erf, primitive de la fonction gaussienne exp(-x 2) (à la constante 2/ près), n'est dans aucune extension différentielle élémentaire de K (ni, donc, de L), c'est-à-dire qu'elle ne peut s'écrire comme composée de fonctions usuelles. La démonstration repose sur l'expression exacte des dérivées données par le théorème, laquelle permet de montrer qu'une primitive serait alors nécessairement de la forme P(x)/Q(x)exp(-x 2) (avec P et Q polynômes); on conclut en remarquant que la dérivée de cette forme ne peut jamais être exp(-x 2). THEOREME DE LIOUVILLE : définition de THEOREME DE LIOUVILLE et synonymes de THEOREME DE LIOUVILLE (français). On montre de même que de nombreuses fonctions spéciales définies comme des primitives, telles que le sinus intégral Si, ou le logarithme intégral Li, ne peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. Relation avec la théorie de Galois différentielle et généralisations [ modifier | modifier le code]
On présente parfois le théorème de Liouville comme faisant partie de la théorie de Galois différentielle, mais cela n'est pas tout à fait exact: il peut être démontré sans aucun appel à la théorie de Galois.
- Théorème de liouville 1
- Théorème de liouville un
- Lithothérapie pierre noire et grise
- Lithothérapie pierre noire et grise ants
Théorème De Liouville 1
6, 1841, p. 1-13 ( lire en ligne)
(en) Andy R. Magid, Lectures on differential Galois theory, AMS, coll. « University Lecture Series » ( n o 7), 1994, 105 p. ( ISBN 978-0-8218-7004-4, Math Reviews 1301076, lire en ligne)
(en) Andy R. Magid, « Differential Galois theory », Notices Amer. 46, n o 9, 1999, p. 1041-1049 ( Math Reviews 1710665, lire en ligne)
(en) Maxwell Rosenlicht, « Liouville's Theorem on Functions with Elementary integral », Pacific J. 24, 1968, p. 153-161 ( lire en ligne)
(en) Marius van der Put (de) et Michael F. Singer, Galois theory of linear differential equations, Springer-Verlag, coll. « Grund. Wiss. Théorème de liouville paris. » ( n o 328), 2003, 438 p. ( ISBN 978-3-540-44228-8, Math Reviews 1960772, lire en ligne)
Voir aussi [ modifier | modifier le code]
Lien externe [ modifier | modifier le code]
Des exemples plus détaillés et une démonstration du théorème
Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Algorithme de Risch
Fonction liouvillienne
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Théorème De Liouville Un
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La larvikite est une pierre de sagesse et de protection. Elle libère des énergies capables de repousser toutes les formes d'énergies négatives. C'est une pierre de sagesse car elle aide à apprendre à tirer les leçons de vie plus facilement et à avancer pacifiquement. C'est aussi une excellente pierre de méditation puisqu'elle renforce la concentration et apaise l'esprit. Merlinite
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