Introduire les suites arithmétiques et géométriques en spécialité Maths classe de première
Niveau et Durée:
Spécialité Maths en classe de première – 2H (+ 1H pour la partie du cours concernant la somme des termes consécutifs d'une suite)
Présentation et objectifs:
Prérequis: notion de suite numérique. Activité d'introduction, sous la forme d'une méthode inspirée de JIGSAW, à la notion de suites arithmétiques et géométriques, et cours associé. Information: La fiche professeur complète ainsi qu'un dossier complet compressé contenant toutes les fiches de l'activité et le cours sont proposés au téléchargement en bas de cette page. Dans les programmes du niveau visé:
Connaissances
Suites arithmétiques: exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines. Calcul de 1+2+⋯+n. Suites géométriques: exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l'étude d'évolutions successives à taux constant.
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Cours Suites Arithmétiques Et Géométriques
Fiche de cours sur les suites arithmétiques et géométriques
Représentation graphique d'une suite: On procède comme pour les fonctions « ordinaires »: En
abscisses, la variable n et en ordonnée, l'image s(n) = sn. La seule différence avec les fonctions de la
variable réelle, c'est qu'ici, seul les points d'abscisses entières sont marqués. Sens de variation d'une suite:
Lorsque chaque terme de la suite est plus grand que son précédent, on dit que la suite est croissante. C'est à dire que, si pour tout entier n, on a: Sn+1 ≥ Sn, on dit alors que la suite (Sn) est croissante. Lorsque chaque terme de la suite est plus petit que son précédent, on dit que la suite est décroissante. C'est à dire que, si pour tout entier n, on a: Sn+1 £ Sn, on dit alors que la suite (Sn) est
décroissante. Si la suite n'est ni croissante, ni décroissante, on dit qu'elle n'est pas monotone. Suites arithmétiques:
Lorsque l'on passe de n'importe quel terme d'une suite au terme suivant, en ajoutant (ou en
retranchant) toujours le même nombre, on dit que la suite est arithmétique.
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4) Il y a 52. 6% de médecins généralistes dans la ville d'Argenteuil contre 47. 4% dans Cergy. Le maire a tort. Exercice 2: suite géométrique
1) Voici typiquement le genre de questions qui va mettre en échec nos élèves. C'est d'ailleurs le propre de l'exercice complet comme on le verra plus loin. On voit qu'il y a un calcul de pourcentage, donc un produit en croix. Seulement, il y a une réflexion pour savoir ce qu'on met dans les cases. Si je considère qu'en 2007 on avait 100% des médecins, cela veut dire qu'en 2017 on a 100-9. 1=90. 9%. Ainsi:
96960 100 88137 90. 9
Le nombre est plus grand, c'est cohérent. 2) Seconde question qui va poser des problèmes aux élèves. Dans mon cours sur les suites, j'ai souvent tendance à dire que si on a une augmentation de 30% la raison est q=1. 30, si c'est 53% alors c'est q=1. 53. Du fait qu'il s'agisse d'une diminution, il faut faire 1-0. 032=0. 968. Ce qui veut dire que si c'est u 0 =240 pour 2015, nous allons chercher u 4. En 2019 on aura donc 211 médecins.
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Par exemple, si t = 5% = 0, 05, alors, q = 1, 05. En effet, si
= 0, 05, alors: Sn+1 − Sn = 0, 05 Sn. Donc: Sn+1 = Sn + 0, 05 Sn = (1 + 0, 05) Sn. Cela donne: Sn+1 = 1, 05 Sn. On a donc une suite géométrique de raison q = 1, 05. Exemples:
La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1. La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2. La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2. La suite constante de terme général Un = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de
raison 1. Quelques remarques importantes:
La suite définie par la formule: Un = a n + b (fonction affine de n) est la suite arithmétique de
premier terme U0 = b et de raison a. Ceci a pour conséquence que la représentation graphique d'une suite arithmétique est
formée de points alignés. On a alors une croissance (ou décroissance) linéaire. La suite définie par la formule: Un = b an est la suite géométrique de premier terme U0 = b et
de raison a.
Suites géométriques
Les termes d'une suite sont en progression géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, que l'on note habituellement, et qui est appelée la raison de la suite. Ce qui s'écrit, pour tout nombre entier. Formule explicite pour tout entier, où est le premier terme de la suite. Si, la suite est croissante si est supérieur à, décroissante si est compris entre et et constante si. Exemples
Dans un étang, une population de 50 nénuphars double chaque année. Cette population peut être modélisée par une suite géométrique, de premier terme et de raison 2. Pour tout entier, on a:. Une suite géométrique traduit une croissance exponentielle. Une évolution de% correspond à une multiplication par.
C'est à dire que, si pour tout entier n, on a:
Sn+1 = Sn + r, on dit alors que la suite (Sn) est arithmétique de raison r.
Les accroissements d'une suite arithmétique sont donc constants (de valeur, la raison r). Suites géométriques:
Lorsque l'on passe de n'importe quel terme d'une suite au terme suivant, en multipliant (ou en
divisant) toujours par le même nombre non nul, on dit que la suite est géométrique. Sn+1 = Sn × q, on dit alors que la suite (Sn) est géométrique de raison q ≠ 0. Les coefficients multiplicateurs d'une suite géométrique sont donc constants (de valeur, la raison q). Les taux d'accroissements d'une suite géométrique sont donc aussi constants (de valeur t = q − 1).
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