Introduction à la FFT et à la DFT ¶
La Transformée de Fourier Rapide, appelée FFT Fast Fourier Transform en anglais, est un algorithme qui permet de calculer des Transformées de Fourier Discrètes DFT Discrete Fourier Transform en anglais. Parce que la DFT permet de déterminer la pondération entre différentes fréquences discrètes, elle a un grand nombre d'applications en traitement du signal, par exemple pour du filtrage. Par conséquent, les données discrètes qu'elle prend en entrée sont souvent appelées signal et dans ce cas on considère qu'elles sont définies dans le domaine temporel. Les valeurs de sortie sont alors appelées le spectre et sont définies dans le domaine des fréquences. Toutefois, ce n'est pas toujours le cas et cela dépend des données à traiter. Il existe plusieurs façons de définir la DFT, en particulier au niveau du signe que l'on met dans l'exponentielle et dans la façon de normaliser. Dans le cas de NumPy, l'implémentation de la DFT est la suivante:
\(A_k=\sum\limits_{m=0}^{n-1}{a_m\exp\left\{ -2\pi i\frac{mk}{n} \right\}}\text{ avec}k=0, \ldots, n-1\)
La DFT inverse est donnée par:
\(a_m=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{A_k\exp\left\{ 2\pi i\frac{mk}{n} \right\}}\text{ avec}m=0, \ldots, n-1\)
Elle diffère de la transformée directe par le signe de l'argument de l'exponentielle et par la normalisation à 1/n par défaut.
Considérons par exemple un signal périodique comportant 3 harmoniques:
b = 1. 0 # periode
w0=1*
return (w0*t)+0. 5*(2*w0*t)+0. 1*(3*w0*t)
La fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à 6/b pour éviter le repliement de bande. La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution:
T=200. 0
fe=8. 0
axis([0, 5, 0, 100])
On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque:
b = 0. 945875 # periode
On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par
une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h:
H ( f) = T sin ( π T f) π T f qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies.
show ()
Cas extrême où f=Fe ¶ import numpy as np
Te = 1 / 2 # Période d'échantillonnage en seconde
t_echantillons = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons
plt. scatter ( t_echantillons, x ( t_echantillons),
color = 'orange', label = "Signal échantillonné")
plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$) à $Fe=2\times f$")
Calcul de la transformée de Fourier ¶ # Création du signal
import numpy as np
f = 1 # Fréquence du signal
A = 1 # Amplitude du signal
return A * np. pi * f * t)
Durée = 3 # Durée du signal en secondes
Te = 0. 01 # Période d'échantillonnage en seconde
x_e = x ( te)
plt. scatter ( te, x_e, label = "Signal échantillonné")
plt. title ( r "Signal échantillonné")
from import fft, fftfreq
# Calcul FFT
X = fft ( x_e) # Transformée de fourier
freq = fftfreq ( x_e. size, d = Te) # Fréquences de la transformée de Fourier
plt. subplot ( 2, 1, 1)
plt. plot ( freq, X. real, label = "Partie réel")
plt. imag, label = "Partie imaginaire")
plt. xlabel ( r "Fréquence (Hz)")
plt.
1. Transformée de Fourier
Ce document introduit la transformée de Fourier discrète (TFD) comme moyen d'obtenir une approximation numérique de la transformée de Fourier d'une fonction. Soit un signal u(t) (la variable t est réelle, les valeurs éventuellement complexes). Sa transformée de Fourier(TF) est:
Si u(t) est réel, sa transformée de Fourier possède la parité suivante:
Le signal s'exprime avec sa TF par la transformée de Fourier inverse:
Lors du traitement numérique d'un signal, on dispose de u(t) sur une durée T, par exemple sur l'intervalle [-T/2, T/2]. D'une manière générale, un calcul numérique ne peut se faire que sur une durée T finie. Une approximation de la TF est calculée sous la forme:
Soit un échantillonnage de N points, obtenu pour:
Une approximation est obtenue par la méthode des rectangles:
On recherche la TF pour les fréquences suivantes, avec:
c'est-à-dire:
En notant S n la transformée de Fourier discrète (TFD) de u k, on a donc:
Dans une analyse spectrale, on s'intéresse généralement au module de S(f), ce qui permet d'ignorer le terme exp(jπ n)
Le spectre obtenu est par nature discret, avec des raies espacées de 1/T.
spectrogram ( x, rate)
# On limite aux fréquences présentent
Sxx_red = Sxx [ np. where ( f < 6000)]
f_red = f [ np. where ( f < 6000)]
# Affichage du spectrogramme
plt. pcolormesh ( t, f_red, Sxx_red, shading = 'gouraud')
plt. ylabel ( 'Fréquence (Hz)')
plt. xlabel ( 'Temps (s)')
plt. title ( 'Spectrogramme du Cri Whilhem')
Spectrogramme d'une mesure ¶ On réalise une mesure d'accélération à l'aide d'un téléphone, qui peut mesurer par exemple les vibrations dues à un séisme. Et on va visualiser le spectrogramme de cette mesure. Le fichier de mesure est le suivant. import as plt
import as signal
# Lecture des en-têtes des données avec comme délimiteur le point-virgule
head = np. loadtxt ( '', delimiter = ', ', max_rows = 1, dtype = np. str)
# Lecture des données au format float
data = np. loadtxt ( '', delimiter = ', ', skiprows = 1)
# print(head)
# Sélection de la colonne à traiter
x = data [:, 3]
te = data [:, 0]
Te = np. mean ( np. diff ( te))
f, t, Sxx = signal. spectrogram ( x, 1 / Te, window = signal.
Exemples simples ¶
Visualisation de la partie réelle et imaginaire de la transformée ¶
import numpy as np
import as plt
n = 20
# definition de a
a = np. zeros ( n)
a [ 1] = 1
# visualisation de a
# on ajoute a droite la valeur de gauche pour la periodicite
plt. subplot ( 311)
plt. plot ( np. append ( a, a [ 0]))
# calcul de A
A = np. fft. fft ( a)
# visualisation de A
B = np. append ( A, A [ 0])
plt. subplot ( 312)
plt. real ( B))
plt. ylabel ( "partie reelle")
plt. subplot ( 313)
plt. imag ( B))
plt. ylabel ( "partie imaginaire")
plt. show ()
( Source code)
Visualisation des valeurs complexes avec une échelle colorée ¶
Pour plus d'informations sur cette technique de visualisation, voir Visualisation d'une fonction à valeurs complexes avec PyLab. plt. subplot ( 211)
# calcul de k
k = np. arange ( n)
# visualisation de A - Attention au changement de variable
plt. subplot ( 212)
x = np. append ( k, k [ - 1] + k [ 1] - k [ 0]) # calcul d'une valeur supplementaire
z = np. append ( A, A [ 0])
X = np.
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