La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution:
T=200. 0
fe=8. 0
axis([0, 5, 0, 100])
On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque:
b = 0. 945875 # periode
On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par
une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h:
qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies. Pour remédier à ce problème, on remplace la fenêtre rectangulaire par une fenêtre dont le spectre présente des lobes secondaires plus faibles,
par exemple la fenêtre de Hamming:
def hamming(t):
return 0.
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La transformée de Fourier permet de représenter le spectre de fréquence d'un signal non périodique. Note Cette partie s'intéresse à un signal à une dimension. Signal à une dimension ¶ Un signal unidimensionnel est par exemple le signal sonore. Il peut être vu comme une fonction définie dans le domaine temporel: Dans le cas du traitement numérique du signal, ce dernier n'est pas continu dans le temps, mais échantillonné. Le signal échantillonné est obtenu en effectuant le produit du signal x(t) par un peigne de Dirac de période Te: x_e(t)=x(t)\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_e) Attention La fréquence d'échantillonnage d'un signal doit respecter le théorème de Shannon-Nyquist qui indique que la fréquence Fe d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence maximale f du signal à échantillonner: Transformée de Fourier Rapide (notée FFT) ¶ La transformée de Fourier rapide est un algorithme qui permet de calculer les transformées de Fourier discrète d'un signal échantillonné.
1. Transformée de Fourier
Ce document introduit la transformée de Fourier discrète (TFD) comme moyen d'obtenir une approximation numérique de la transformée de Fourier d'une fonction. Soit un signal u(t) (la variable t est réelle, les valeurs éventuellement complexes). Sa transformée de Fourier(TF) est:
Si u(t) est réel, sa transformée de Fourier possède la parité suivante:
Le signal s'exprime avec sa TF par la transformée de Fourier inverse:
Lors du traitement numérique d'un signal, on dispose de u(t) sur une durée T, par exemple sur l'intervalle [-T/2, T/2]. D'une manière générale, un calcul numérique ne peut se faire que sur une durée T finie. Une approximation de la TF est calculée sous la forme:
Soit un échantillonnage de N points, obtenu pour:
Une approximation est obtenue par la méthode des rectangles:
On recherche la TF pour les fréquences suivantes, avec:
c'est-à-dire:
En notant S n la transformée de Fourier discrète (TFD) de u k, on a donc:
Dans une analyse spectrale, on s'intéresse généralement au module de S(f), ce qui permet d'ignorer le terme exp(jπ n)
Le spectre obtenu est par nature discret, avec des raies espacées de 1/T.
show ()
Cas extrême où f=Fe ¶ import numpy as np
Te = 1 / 2 # Période d'échantillonnage en seconde
t_echantillons = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons
plt. scatter ( t_echantillons, x ( t_echantillons),
color = 'orange', label = "Signal échantillonné")
plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$) à $Fe=2\times f$")
Calcul de la transformée de Fourier ¶ # Création du signal
import numpy as np
f = 1 # Fréquence du signal
A = 1 # Amplitude du signal
return A * np. pi * f * t)
Durée = 3 # Durée du signal en secondes
Te = 0. 01 # Période d'échantillonnage en seconde
x_e = x ( te)
plt. scatter ( te, x_e, label = "Signal échantillonné")
plt. title ( r "Signal échantillonné")
from import fft, fftfreq
# Calcul FFT
X = fft ( x_e) # Transformée de fourier
freq = fftfreq ( x_e. size, d = Te) # Fréquences de la transformée de Fourier
plt. subplot ( 2, 1, 1)
plt. plot ( freq, X. real, label = "Partie réel")
plt. imag, label = "Partie imaginaire")
plt. xlabel ( r "Fréquence (Hz)")
plt.
Considérons par exemple un signal périodique comportant 3 harmoniques:
b = 1. 0 # periode
w0=1*
return (w0*t)+0. 5*(2*w0*t)+0. 1*(3*w0*t)
La fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à 6/b pour éviter le repliement de bande. La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution:
T=200. 0
fe=8. 0
axis([0, 5, 0, 100])
On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque:
b = 0. 945875 # periode
On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par
une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h:
H ( f) = T sin ( π T f) π T f qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies.
On note pour la suite X(f) la FFT du signal x_e(t). Il existe plusieurs implantations dans Python de la FFT: pyFFTW Ici nous allons utiliser pour calculer les transformées de Fourier. FFT d'un sinus ¶ Création du signal et échantillonnage ¶ import numpy as np
import as plt
def x ( t):
# Calcul du signal x(t) = sin(2*pi*t)
return np. sin ( 2 * np. pi * t)
# Échantillonnage du signal
Durée = 1 # Durée du signal en secondes
Te = 0. 1 # Période d'échantillonnage en seconde
N = int ( Durée / Te) + 1 # Nombre de points du signal échantillonné
te = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons
t = np. linspace ( 0, Durée, 2000) # Temps pour le signal non échantillonné
x_e = x ( te) # Calcul de l'échantillonnage
# Tracé du signal
plt. scatter ( te, x_e, color = 'orange', label = "Signal échantillonné")
plt. plot ( t, x ( t), '--', label = "Signal réel")
plt. grid ()
plt. xlabel ( r "$t$ (s)")
plt. ylabel ( r "$x(t)$")
plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$)")
plt. legend ()
plt.
0/T
plot(freq, spectre, 'r. ') xlabel('f')
ylabel('S')
axis([0, fe, 0, ()])
grid()
return tfd
Voyons le spectre de la gaussienne obtenue avec la TFD superposée au spectre théorique:
T=20. 0
fe=5. 0
figure(figsize=(10, 4))
tracerSpectre(signal, T, fe)
def fourierSignal(f):
return ()*(**2*f**2)
f = (start=-fe/2, stop=fe/2, step=fe/100)
spectre =np. absolute(fourierSignal(f))
plot(f, spectre, 'b')
axis([-fe/2, fe, 0, ()])
L'approximation de la TF pour une fréquence négative est donnée par:
La seconde moitié de la TFD () correspond donc aux fréquences négatives. Lorsque les valeurs du signal sont réelles, il s'agit de l'image de la première moitié (le spectre est une fonction paire). Dans ce cas, l'usage est de tracer seulement la première moitié. Pour augmenter la résolution du spectre, il faut augmenter T. Il est intéressant de maintenir constante la fréquence d'échantillonnage:
T=100. 0
axis([0, fe/2, 0, ()])
2. b. Exemple: sinusoïde modulée par une gaussienne
On considère le signal suivant (paquet d'onde gaussien):
avec.
Prix
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De 10 € à 50 €
De 50 € à 100 €
De 100 € à 250 €
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Fiat 500 Enfant De 3 Ans
certes quand on a les deux en même temps c'est pas possible (c'est pour ça qu'on a aussi une familiale. ) mais pour emmener la petite chez la nourrice et aller au boulot, la 500 c'est le pied!! et puis quand on achète le jouet de ses rêves (j'en rêvais avant même qu'ils aient eu l'idée de la sortir ou de la présenter. ) eh bien on est prêt à quelques concessions! évidemment pour les vacances c'est pas la voiture idéale mais je ne crois pas qu'elle ait une vocation de familiale grands trajets (surtout avec 35 litres dans la gourde! ) _________________ Fiat 500 Sport 1. 3 Mjtd Pasodoble Red - JA 16" Sport - Kit Chrome - Barre AV chrome - Rétro chrome - Sticker Latéral Sport Blanc (comme Starsky et Hutch)
Posté le: 17 Fév 2008 21:24 Sujet du message: Re: question poussette
satanas a écrit: Bonjour Jeanne et sa maman,
Salut,
Pour la high treck, c'est un peu le cirque avec le hamac, qu'on doit mettre en équilibre à coté de BB. Donc, j'avais investi dans une Maclaren Triumph, une poussette canne, qui rentre pile poil dans le coffre, comme ça pas besoin de rabattre le siège.
Mais la poussette canne, c'est bien quand ils sont un peu plus grands, ces petits: ma fille a 9 mois et demi et ca commence seulement à lui convenir. _________________ Jeannette
rafalfa Sexe: Inscrit le: 23 Fév 2008 Messages: 3675 Localisation: La Varenne (94)
natball Sexe: Inscrit le: 30 Sep 2008 Messages: 72 Localisation: Roubaix
BoBoltz Sexe: Inscrit le: 07 Juin 2008 Messages: 2230 Localisation: Montargis (45)
Mogway Inscrit le: 24 Nov 2008 Messages: 3
Posté le: 24 Nov 2008 00:50 Sujet du message:
Future maman, je refuse de me séparer de ma 500. Nous avons acheté un QUBO pour mon mari mais j'avais une petite question:
La trio for me de CHICCO rentre dans le coffre d'une Smart, donc ok pour la 500???? Car j'aurais souvent le bébé avec moi dans ma 500.... Merci de vos réponses! Nico! Sexe: Inscrit le: 06 Juil 2008 Messages: 46 Localisation: Boulogne-Billancourt
Posté le: 23 Jan 2009 16:14 Sujet du message:
Pour info, la Carrera de chez JANE rentre nikel dans le coffre...
Même pas besoin de forcer.