Informations Générales
EAN
4053838130315
Marque
URBAN CLASSICS
Caractéristiques générales
Couleur principale
Gris Clair
Genre
femme
Caractéristiques techniques
Poids
0. 149
Type de pratique
mode-_lifestyle
Usages
Niveau de pratique
regulier
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2 exercices corrigés sur les fonctions logarithmes et exponentielles
Exercices Corrigés Sur Les Fonctions Logarithms Et Exponentielles En
Résoudre les équations suivantes (on déterminera au préalable l'ensemble de définition de chaque équation):
e x + 1 = 2 e^{x+1}=2
e x 2 = 1 2 e^{x^{2}}=\frac{1}{2}
ln ( x + 1) = − 1 \ln\left(x+1\right)= - 1
ln ( x + 1) + ln ( x − 1) = 1 \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1
Corrigé
Cette équation est définie sur R \mathbb{R}. e x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = ln 2 e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2 (d'après cette propriété)
L'équation a pour unique solution x = ln 2 − 1 x=\ln2 - 1
L'équation est définie sur R \mathbb{R} et équivalente à:
x 2 = ln ( 1 2) x^{2}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)
x 2 = − ln ( 2) x^{2}= - \ln\left(2\right)
Comme − ln ( 2) < 0 - \ln\left(2\right) < 0 l'équation proposée n'a pas de solution. L'équation est définie si x + 1 > 0 x+1 > 0 donc sur l'intervalle D =] − 1; + ∞ [ D=\left] - 1; +\infty \right[
Sur cet intervalle, elle est équivalente à:
x + 1 = e − 1 x+1=e^{ - 1}
x = − 1 + e − 1 x= - 1+e^{ - 1} (que l'on peut aussi écrire − 1 + 1 e - 1+\frac{1}{e} ou 1 − e e \frac{1 - e}{e})
Cette valeur appartient bien à D D donc est l'unique solution de l'équation.
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La notation log x est un peu ambigue. Elle sert parfois à désigner le logarithme décimal, et parfois le logarithme népérien (notamment dans les livres d'origine anglo-saxonne, ou même les livres universitaires). Exponentielle
L a fonction ln est une bijection de sur R. Si x est dans, il existe donc un unique y de R tel que ln y =x. Par définition, le nombre y s'appelle exponentielle de x, et se note exp x. La fonction exp vérifie les propriétés suivantes:
exp est dérivable sur R, et (exp)'(x)=exp(x). exp(0)=1. exp(a+b)=exp(a)×exp(b) et exp(na)=[exp(a)] n. La fonction exponentielle permet de définir des puissances non entières d'un réel strictement positif:
Définition: Soit a un réel strictement positif, et b un réel. On définit a b, appellé a puissance b, en posant:
b est l'exposant de a b.
En particulier, on retrouve, à l'aide des propriétés du logarithme, les bonnes valeurs pour a 2 (=a× a), a 1/2 (=racine de a). Les règles de calcul avec des puissances réelles sont les mêmes que lorsqu'on manipule des exposants entiers.