Ambiguïtés à éviter [ modifier | modifier le code]
Il est essentiel, quand on utilise la transformation bilatérale de Laplace, de préciser la bande de convergence. Soit par exemple. Si la bande de convergence est, l'« antécédent » de cette transformation de Laplace est la fonction de Heaviside. En revanche, si la bande de convergence est, cet antécédent est. Convolution et dérivation [ modifier | modifier le code]
Soit et deux distributions convolables, par exemple ayant chacune un support limité à gauche, ou l'une d'entre elles étant à support compact. Transformée de laplace tableau en. Alors (comme dans le cas de la transformation monolatérale),
En particulier, et, donc
Transformées de Laplace des hyperfonctions [ modifier | modifier le code]
On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel » [ 1]. Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. Mais par exemple
bien que n'étant pas une distribution (car elle est d'ordre infini localement, à savoir en 0), est une hyperfonction dont le support est et qui
admet pour transformée de Laplace
où désigne la fonction de Bessel de première espèce habituelle, à savoir la fonction entière
On obtient en effet en substituant cette expression dans la précédente
ce qui est bien cohérent avec la définition de puisque.
2. Propriétés
1. Linéarité
\[f(t)=f_1(t)+f_2(t)\quad \rightarrow \quad F(p)=F_1(p)+F_2(p)\]
1. Dérivation et Intégration
\[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]
Le calcul rigoureux (dérivation sous le signe \(\int\) conduit à: \[F'(p)~=~p~F(p)+f(0)\]
En pratique, les fonctions que nous considérons n'apparaissent qu'à l'instant \(t\) et sont supposées nulles pour \(t<0\) avec \(f(0)=0\): \[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]
Inversement, une intégration équivaut à une multiplication par \(1/p\) de l'image. Transformée de laplace tableau les. En effectuant une deuxième dérivation: \[F''(p) = p~F'(p)-f'(0)\]
Et comme \(f'(0)=0\), suivant l'hypothèse précédente: \[F''(p)=p^2~F(p)\]
1. 3. Théorème des valeurs initiale et finale
Théorème de la valeur initiale: \[f(0) = \lim_{p~\to~\infty}\{p~F(p)\}\]
Théorème de la valeur finale: \[f(+\infty) = \lim_{p~\to~0}\{p~F(p)\}\]
1. Détermination de l'original
La fonction image se présente généralement comme le quotient de deux polynômes, le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur.
Coefficients des séries de Fourier
3. Forme réelle
La fonction (périodique) à décomposer: \[f(x)~=~a_0~+~\sum_{n=1}^{n=\infty} a_n\cos n\omega x~+~\sum_{n=1}^{n=\infty} b_n\sin n\omega x\]
Les expressions des coefficients (réels): \[\begin{aligned} &a_0~=~\frac{1}{T} ~\int_0^Tf(t)~dt\\ &a_n~=~\frac{2}{T}~\int_0^T~f(t)\cos n\omega t~dt\\ &b_n~=~\frac{2}{T}~\int_0^T~f(t)\sin n\omega t~dt\end{aligned}\]
3. Forme complexe
La fonction (périodique) à décomposer: \[f(x)~=~\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_n~e^{jn\omega x}\]
Les expressions des coefficients (complexes): \[c_n~=~\frac{a_n+jb_n}{2}~=~\frac{1}{T}\int_0^T f(t)~e^{-jn\omega t}~dt\]
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Source de l'article: Mathématiques pour la Physique, tome 2, Benoist-Gueutal et Courbage, Eyrolles. Consulter aussi...
Formalisation [ 2] (fin)
Définissons maintenant la relation d'équivalence suivante: et désignant deux distributions telles que ci-dessus, nous écrirons si et ont même restriction à l'intervalle dès que est suffisamment petit. Alors ne dépend que de la classe d'équivalence de et qui est appelée un « germe » de fonction généralisée définie dans un voisinage de, et, par abus de langage, une « fonction généralisée à support positif » (voir l'article Transformation de Laplace). On écrira. Transformée de laplace tableau dans. Notons enfin que si, et seulement si. Applications [ modifier | modifier le code]
La transformation de Laplace bilatérale est utilisée notamment pour la conception de filtres analogiques classiques ( Butterworth, Tchebychev, Cauer, etc. ) [ 3], pour le filtre optimal de Wiener, en statistiques où elle définit la fonction génératrice des moments d'une distribution, elle joue un rôle essentiel dans la formulation à temps continu de la factorisation spectrale causale directe et inverse, elle est très utilisée enfin pour résoudre les équations intégrales (voir l'article Opérateur intégral).
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Que va devenir l'école maternelle du 40, rue des Archives (IVe), installée à Paris dans un hôtel particulier classé de la fin du XVe siècle et qui appartenait à la petite-fille de Jacques Cœur, célèbre argentier de Charles VII, aujourd'hui propriété de la Ville? Ressource «17 rue Gustave Testelin.» - | Archives municipales de .... Face à la « baisse tendancielle du nombre d'élèves », selon la formule de Patrick Bloche (PS), adjoint auprès de la maire de Paris chargé de l'éducation, le rectorat a annoncé le 11 février son intention de supprimer une classe dans cet établissement à la rentrée de septembre 2021. Actuellement, les 75 écoliers sont répartis en quatre classes, soit 18 enfants par classe. « Nous avons demandé un moratoire mais la baisse structurelle de la démographie à Paris centre, comme dans tout Paris, fait que cette école est fragilisée », observe Karine Barbagli (Paris en commun), première adjointe au maire de Paris centre, chargée des affaires scolaires. La municipalité a donc annoncé le 4 février aux représentants des parents d'élèves sa décision de créer une « école polyvalente » qui regroupera, dès septembre prochain, les trois classes de maternelle des Archives et les sept classes élémentaires (du CP au CM2) de l'école de la rue de Moussy voisine.