Fonction de répartition [ modifier | modifier le code]
La fonction de répartition est donnée par:
Espérance, variance, écart type, médiane [ modifier | modifier le code]
Densité d'une durée de vie d'espérance 10 de loi exponentielle ainsi que sa médiane. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. Nous savons, par construction, que l' espérance mathématique de X est. On calcule la variance en intégrant par parties; on obtient:. L' écart type est donc. Propriété des exponentielles. La médiane, c'est-à-dire le temps T tel que, est. Démonstrations [ modifier | modifier le code]
Le fait que la durée de vie soit sans vieillissement se traduit par l'égalité suivante:
Par le théorème de Bayes on a:
En posant la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t, on trouve donc:
Puisque la fonction G est monotone et bornée, cette équation implique que G est une fonction exponentielle. Il existe donc k réel tel que pour tout t:
Notons que k est négatif, puisque G est inférieure à 1. La densité de probabilité f est définie, pour tout t ≥ 0, par:
Le calcul de l'espérance de X, qui doit valoir conduit à l'équation:
On calcule l'intégrale en intégrant par parties; on obtient:
Donc et
Propriétés importantes [ modifier | modifier le code]
Absence de mémoire [ modifier | modifier le code]
Une propriété importante de la distribution exponentielle est la perte de mémoire ou absence de mémoire.
- Propriétés de l'exponentielle - Maxicours
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Propriétés De L'exponentielle - Maxicours
EXPONENTIELLE - Propriétés et équations - YouTube
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Lorsqu'on définit la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme, on en déduit immédiatement (cf. chap. 2) les propriétés algébriques ci-dessous. Lorsqu'on définit comme solution d'une équation différentielle, on parvient à les démontrer directement. Propriété fondamentale [ modifier | modifier le wikicode]
Propriété
Démonstration
Posons, pour fixé, (on sait depuis le chapitre 1 que). Alors, et pour tout x:. D'après ce théorème, pour tout. On a bien montré que pour tous x et y,. Les fonctions continues vérifiant cette même équation fonctionnelle seront étudiées au chapitre 8. On verra qu'elles coïncident avec les solutions de l'équation différentielle générale rencontrées au chapitre 1. Conséquences [ modifier | modifier le wikicode]
Les formules suivantes se déduisent de la propriété algébrique fondamentale. Pour tous réels et,. Pour tout réel et tout entier relatif,. Soient. Propriétés de l'exponentielle - Maxicours. On sait (chap. 1) que. On en déduit:
Soit:
On note, pour tout la propriété: « »
Initialisation: Pour n = 0, donc est vraie
Soit tel que soit vraie
Donc est vraie.
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