Produit scalaire, orthogonalité
Enoncé Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur $\mathbb R^2$? $\varphi_1\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}$;
$\varphi_2\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=4x_1y_1-x_2y_2$;
$\varphi_3\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$. Enoncé Pour $A, B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit
$$\langle A, B\rangle=\textrm{tr}(A^T B). $$
Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. En déduire que, pour tous $A, B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$, on a
$$\big(\textrm{tr}(AB))^2\leq \textrm{tr}(A^2)\textrm{tr}(B^2). $$
Enoncé Soit $n\geq 1$ et soit $a_0, \dots, a_n$ des réels distincts deux à deux. Produit scalaire canonique un. Montrer que l'application $\varphi:\mathbb R_n[X]\times\mathbb R_n[X]\to\mathbb R$
définie par $\varphi(P, Q)=\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$. Enoncé Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé:
$\langle f, g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0, 1], \mathbb R)$;
$\langle f, g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a, b], \mathbb R)$ où $w\in E$ satisfait $w>0$ sur $]a, b[$.
Produit Scalaire Canonique D
Montrer, en utilisant la question précédente, que si $x, y\in E$ et $r\in\mtq$, on a $(rx, y)=r(x, y)$. En utilisant un argument de continuité,
montrer que c'est encore vrai pour $r\in\mtr$. Conclure! Enoncé Soient $(E, \langle. \rangle)$ un espace préhilbertien réel, $\|. \|$ la norme associée au produit scalaire,
$u_1, \dots, u_n$ des éléments de $E$ et $C>0$. Produit scalaire canonique — Wikipédia. On suppose que:
$$\forall (\veps_1, \dots, \veps_n)\in\{-1, 1\}^n, \ \left\|\sum_{i=1}^n \veps_iu_i\right\|\leq C. $$
Montrer que $\sum_{i=1}^n \|u_i\|^2\leq C^2. $
Géométrie
Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que, dans un triangle $ABC$, les trois bissectrices intérieures sont concourantes et que le point d'intersection est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Pour cela, on considère $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension égale à $2$, $D$ et $D'$ deux droites distinctes de $E$, $u$ et $v$ des vecteurs directeurs unitaires de respectivement $D$ et $D'$. On pose $w_1=u+v$ et $w_2=u-v$, $D_1$ la droite dirigée par $w_1$ et $D_2$ la droite dirigée par $w_2$.
Ces résultats seront valables aussi dans le cas des
espaces vectoriels hermitiens, mais quand il y aura une différence,
nous la signalerons. Rappellons la définition d'une norme donnée dans le chapitre
sur les séries de fonctions. Définition 4. 3
Soit
un ensemble. Une distance sur
est une fonction positive sur
telle que
La dernière propriété s'appelle
inégalité triangulaire. Soit un espace vectoriel sur
le corps
Une norme sur est
une fonction
satisfaisant les trois propriétés
suivantes:
i)
ii)
iii)
Dans ce cas
définit une distance sur
Proposition 4. 4
Si
est un
espace euclidien, alors la fonction
définie sur E une norme appelée norme euclidienne:
On a l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
est une distance appelée distance euclidienne. Preuve: On établit Cauchy-Schwarz
avant en considérant le polynôme en
Une conséquence immédiate est la propriété suivante. on a
(4. 10)
Remarque 4. 5. Produit scalaire canonique (Ev euclidiens) : exercice de mathématiques de maths sup - 495218. Si
est un espace euclidien, alors
La connaissance de la norme détermine complètement
le produit scalaire. On note aussi
au lieu de
pour désigner un espace euclidien,
désignant
la norme euclidienne associée.
Produit Scalaire Canonique Des
il est défini positif: $\vec u\cdot \vec u\geq 0$ avec égalité si et seulement si $\vec u=\overrightarrow 0$. Produit scalaire canonique d. On emploie parfois d'autres expressions du produit scalaire, comme celle avec les angles (on utilise toujours les mêmes
notations)
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=AB\times CD\times\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}}\right)$$
ou celle avec les coordonnées: si dans un repère orthonormé du plan, les coordonnées respectives de
$\vec u$ et $\vec v$ sont $(x, y)$ et $(x', y')$, alors:
$$\vec u\cdot \vec v=xx'+yy'. $$
Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité: les droites
$(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales si, et seulement si,
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0. $$
En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation
$$AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}. $$
C'est aussi un outil fondamental en physique: si une force $\vec F$ déplace
un objet d'un vecteur $\vec u$, le travail effectué par cette force vaut
$$W=\vec F\cdot \vec u.
Remarque 4. 6
Tout espace vectoriel E, de
dimension finie n, peut être muni
d'une structure
euclidienne. Abderemane Morame
2006-06-07
Produit Scalaire Canonique Un
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Lettris est un jeu de lettres gravitationnelles proche de Tetris. Exercices corrigés -Espaces euclidiens : produit scalaire, norme, inégalité de Cauchy-Schwarz. Chaque lettre qui apparaît descend; il faut placer les lettres de telle manière que des mots se forment (gauche, droit, haut et bas) et que de la place soit libérée.
Démontrer que $\langle u, v\rangle\in]-1, 1[$. Démontrer que $D_1=D_2^{\perp}$. Soit $x=\alpha u+\beta v$ un vecteur de $E$. Calculer $d(x, D)^2$ et $d(x, D')^2$ en fonction de $\alpha, \beta, u$ et $v$. Démontrer que $d(x, D)=d(x, D')\iff x\in D_1\cup D_2$. On suppose que $x$ est non nul. Produit scalaire canonique des. Démontrer que $x\in D_1$ si et seulement si
$\cos\big(\widehat{(u, x)}\big)=\cos\big(\widehat{(v, x)}\big). $
En déduire le résultat annoncé au début de l'exercice.
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