Opérations sur les polynômes - Formule de Taylor
Enoncé Soient $a, b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$
le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\mathbb R[X]$? Enoncé Résoudre les équations suivantes, où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\mathbb R[X]$:
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1. }\ P(X^2) = (X^2 + 1)P(X)&\quad&\mathbf{2. }\ P'^2=4P\\
\mathbf{3. Fiche de révisions Maths : Fonction polynôme du second degré - exercices. }\ P\circ P=P. \end{array}$$
Enoncé Déterminer les polynômes $P$ de degré supérieur ou égal à 1 et tels que $P'|P$. Division euclidienne
Enoncé Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de
$X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$;
$X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$;
$X^5-X^2+2$ par $X^2+1$. Enoncé Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a, b\in\mathbb K$ avec $a\neq b$. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
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Ainsi le signe de 3 x 3 + 5 x 2 + 3 x + 1 est donné par:
– 1
1 3 + 1 2 – 5 + 3 = 2 – 5 + 3 = – 3 + 3 = 0
x 3 + x 2 – 5 x + 3 = ( x – 1)( ax 2 + bx + c)
x 3 + x 2 – 5 x + 3 = ax 3 + bx 2 + cx – ax 2 – bx – c
x 3 + x 2 – 5 x + 3 = ax 3 + ( b – a) x 2 + ( c – b) x – c
x 3 + x 2 – 5 x + 3 = ( x – 1)( x 2 + 2 x – 3)
On peut alors calculer le discriminant du second facteur du produit obtenu x 2 + 2 x – 3:
∆ = 2 2 + 12 = 4 + 12 = 16 > 0 donc deu x racines réelles pour ce polynôme. x 1 = et x 2 =
x 1 = – 3 et x 2 = 1
Ainsi x 3 + x 2 – 5 x + 3 admet deu x racines: – 3 et 1 (racine double car elle apparaît deu x fois)
S = {– 3; 1}
Le signe de x 2 + 2 x – 3 est du signe de 1 > 0 à l'extérieur des racines et de – 1 < 0 à l'intérieur des racines. Ainsi le signe de x 3 + x – 5 x + 3 est donné par:
– 3
x – 1
x 2 + 2 x – 3
+
En utilisant les notations du cours, on pose:. Nous obtenons alors:
Le système peut donc s'écrire:. (C'est la troisième équation du système précédent qu'il faut garder car elle est du premier degré en y. ) Nous remarquons que x = 5 est une racine évidente de la troisième équation. Fonction polynôme de degré 3 exercice corrigé de. Le système s'écrira donc:. Pour finir de résoudre la troisième équation, il nous reste à résoudre:,
qui a pour solution:. En joignant la solution x = 5, les valeurs possibles de x sont:. De la deuxième équation du système, nous tirons:. En conséquence, les valeurs de y correspondantes respectivement aux valeurs de x trouvées précédemment sont:
Et comme:,
les valeurs respectives de z correspondantes sont:
Exercice 1-5 [ modifier | modifier le wikicode]
Soient un polynôme du second degré et. Montrer que. Exercice 1-6 [ modifier | modifier le wikicode]
On veut construire une boîte de base carrée de volume 562, 5 cm 3 en découpant, à chaque coin d'une plaque en carton de 20 cm de côté, un carré de côté x cm, et en repliant bord à bord les quatre rectangles ainsi créés.
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