7. 3 Étude de la fonction exponentielle
7. 3. 1 Limites en +∞ et en -∞
Propriété 7. 4
lim x→+∞ e x =+∞ et lim x→-∞ e x =0
Démonstration:
Limite en -∞
lim x→0 exp ln x = lim x→-∞ exp ( X) Or exp ln x =x donc: lim x→0 exp ln x = lim x→0 x=0 donc: lim x→-∞ e x =0
Limite en +∞
lim x→+∞ exp ln x = lim x→+∞ exp ( X) Or exp ln x =x donc: lim x→+∞ exp ln x = lim x→+∞ x=+∞ donc: lim x→+∞ e x =+∞
7. 2 Dérivée
Propriété 7. 5
La dérivée de la fonction exponentielle sur R est elle-même:
pour tout x ∈ R, on a exp ' ( x) = exp( x). Soit f la fonction définie sur R par f ( x) = ln(exp( x)). Pour tout x ∈ R, on a f ( x) = x, donc f' ( x) = 1. Or en utilisant le théorème 6. 1 sur la dérivée
d'une fonction composée avec la fonction ln, on a:
Pour x ∈ R, f ' x = exp'(x) exp ( x), Ainsi: exp'(x) exp ( x) =1 d ' où ex p ' x = exp x. 7. 3 Variations et courbe
Propriété 7. Terminale ES/L : La Fonction Exponentielle. 6
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
On a vu que la dérivée de l'exponentielle est elle-même et que l'exponentielle est une fonction strictement positive.
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Voici les autres. Propriétés
Propriétés de la fonction exponentielle
Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle. La fonction exponentielle est strictement croissante sur. Pour tout réel x, e x > 0. Pour tout a, b ∈,
e a < e b ⇔ a < b
e a = e b ⇔ a = b
Pour tout x > 0, e ln x = x. Pour tout réel x, ln (e x) = x. La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, ( e x)' = e x. Si u est une fonction dérivable sur, alors:
( e u)' = u ' e u
Pour tout x, y ∈,
e x + y = e x e y
Pour tout réel x,
Pour tout x ∈ et tout n ∈,
( e x) n = e nx
Ces propriétés sont primordiales. Les puissances | Fonction exponentielle | Cours terminale ES. Cela doit être un automatisme pour vous. Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance. Je veux juste insister sur une chose en particulier. Retenez ceci: la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif. 3 - Tracé de la fonction exponentielle
Le domaine de définition de la fonction exponentielle est:.
Propriétés algébriques.
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