Calculer Calculer chacune des distances AE et AF. Déduire: cos( EAF). Calculer la distance EF. Exercice 4
ABC est un triangle tel que: AB = a, AC = 3a, cos A = 2/3 et O milieu de [ BC] ( a ∈ ℝ * +). Calculer: En déduire que: = −a 2 et que: BC = a√6. Calculer: AO. Soit E un point tel que: BE = 2/9CA. a) Montrer que: 9AE = 9AB − 2AC. b) Montrer que le triangle ACE est rectangle en A. Exercice 5
Soient A et B deux points du plan tels que: AB = 6. Montrer que tout point M du plan, = MI 2 − 1/4AB 2 tel que I est le milieu du segment [ AB]. En déduire l'ensemble des points M du plan dans les cas suivants:
E 1 = { M ∈ ( P)/ = −9}, E 2 = { M ∈ ( P)/ = 7}
E 3 = { M ∈ ( P)/ = −12} et E 4 = { M ∈ ( P)/ = 0}. Exercice 6
ABC est un triangle équilatéral tel que: AB = a ( a ∈ ℝ * +) et I est le milieu de [ BC] et O est le milieu de [ AI]. Calculer en fonction de a le produit scalaire et la distance AI. Démontrer que pour tout point M du plan ( P) on a: 2MA 2 + MB 2 + MC 2 = 4MO 2 + 5/4a 2. Déduire l'ensemble des points M du plan dans le cas suivant:
F = { M ∈ ( P)/ 2MA 2 + MB 2 + MC 2 = 2a 2}
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Devoir maison produit scalaire et calcul trigonométrique
Exercice 1 ( le produit scalaire)
Dans la figure ci-dessous EFG est un triangle équilatéral de coté a, ( a ∈ ℝ * +) et EGH est un triangle rectangle en E tel que: EH = 2a et K est le milieu de [ EH].
Produit Scalaire Exercices Corrigés Terminale
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Produit Scalaire Exercices Corriges
corrigé 3 corrigé 5
exo 4: reconnaître des ensembles ayant une équation cartésienne du type suivant: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 corrigé 4 exo 6: trouver une équation cartésienne d'un ensemble de point M défini par une relation métrique du type aMA 2 + bMB 2 = k ou avec un produit scalaire puis le reconnaître. corrigé 6 exos 7 et 8: deux exercices utilisant la formule de la distance d'un point à une droite ( formule démontrée au début de l'exo 7) corrigé 7 corrigé 8
feuille d'exos 2: démontrer avec le produit scalaire
énoncés corrigés
Cette feuille comporte huit exercices. exo 1: ma démonstration préférée pour l'alignement des points de concours respectifs des hauteurs des médianes et des médiatrices d'un triangle. corrigé 1 exo 2: utiliser la relation de Chasles, des projetés orthogonaux, des vecteurs orthogonaux pour démontrer l'appartenance de quatre points à un même cercle. corrigé 2 exos 3, 4 et 9: utiliser la propriété caractéristique du milieu (exos 3 et 4), des projetés orthogonaux pour justifier la perpendicularité de deux droites.
Produit Scalaire Exercices Corrigés 1Ère S
On considère l'homothétie h de centre I tel que: h ( C) = A. Déterminer le rapport de l'homothétie h. Montrer que: h ( D) = B. La droite qui passe par D et parallèle à ( BC) coupe ( IA) en E.
a) Montrer que: h ( E) = C. 4. Déduire l'image du triangle ECD par l'homothétie h.
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Correction devoir maison
Exercice 1 (produit scalaire)
On considère la figure suivante:
Montrons que: ( EF, EH) ≡ 5π/6 [ 2π]
On utilise la relation de Chasles, on obtient:
( EF, EH) ≡ ( EF, EG) + ( EG, EH)
≡ π/3 + π/2 [ 2π]
≡ 5π/6 [ 2π]
2. Montrons que: = a 2 /2. =. cos( FEG)
= a × a × cos ( π/3)
= a × a × 1/2 (car: FEG = π/3)
= a 2 /2
Montrons que: = −a 2 √3
= cos ( FEH)
= a × 2a × cos ( 5π/6)
= 2a 2 cos ( π − π/6)
= −2a 2 cos π/6
= −2a 2 × √3/2
= −a 2 √3
3. Montrons que: GH 2 = 5a 2
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HEG. GH 2 = EG 2 + EH 2
= a 2 + 4a 2
= 5a 2
Montrons que: FH 2 = ( 5 + 2√3) a 2
On applique le théorème d'Al-Kashi dans le triangle FEH.
Produit Scalaire 1 Bac Sm Exercices Corrigés
introduction à la notion de produit scalaire
énoncé corrigé
Ce document, qui est à compléter, introduit la notion de produit scalaire de deux vecteurs en utilisant une situation illustrant le travail d'une force d'intensité donnée pendant un déplacement de longueur donnée. feuille d'exos 1: point de vue analytique
énoncés corrigés Cette feuille comporte huit exercices de géométrie analytique. On se place dans un plan euclidien ( muni d'un produit scalaire) et le repère utilisé est orthonormal. exo 1: on donne les coordonnées de six points; certains de ces points peuvent-ils servir de sommets pour un rectangle? un triangle isocèle rectangle? un triangle équilatéral? corrigé 1 exo 2: on donne en fonction d'un paramètre m les coordonnées de trois vecteurs; on demande de trouver les valeurs de m rendant deux de ces vecteurs orthogonaux, deux de ces vecteurs colinéaires et un de ces vecteurs unitaire. corrigé 2 exos 3 et 5: on donne des coordonnées de points; on demande de calculer des produits scalaires, d'écrire des équations cartésiennes de droites ( médiatrice, hauteur, droite ayant un vecteur normal connu), d'écrire des équations cartésiennes de cercles.
Produit Scalaire Exercices Corrigés Pdf
− π ≺ π/6 + kπ ≼ π
⇔ −1 ≺ 1/6 + k ≼ 1
⇔ −1 − 1/6 ≺ k ≼ 1 − 1/6
⇔ −7/6 ≺ k ≼ 5/6
comme k ∈ ℤ, alors: k = − 1 ou k = 0. Si k = 0, alors: x = π/6 Si k = 1, alors: x = π/6 − π = − 5π/6. De même on a:
− π ≺ π/3 + kπ ≼ π
⇔ −1 ≺ 1/3 + k ≼ 1
⇔ −1 −1/3 ≺ k ≼ 1 − 1/3
⇔ −4/3 ≺ k ≼ 2/3
comme k ∈ ℤ alors: k = − 1 ou k = 0. Si k = − 1, alors: x = π/3 − π = −2π/3. Si k = 0, alors: x = π/3. S = { −5π/6, −2π/3, π/6, π/3}
Exercice 3 (Les transformations dans le plan)
IAB est un triangle et C, D deux points tel que: IC = 1/3IA et ID = 1/3IB
On cherche le rapport et le centre de l'homothétie h. On a h est l'homothétie qui transforme A en C et B en D, et comme IC = 1/3IA et ID = 1/3IB. Ceci signifie que h est l'homothétie de centre I et de rapport 1/3. 2. La droite passant par D et parallèle à ( BC) coupe ( IA) en E.
a) On cherche h (( BC)):
On a: h ( B) = D, ceci signifie que l'image de la droite ( BC) par h est la droite qui passe par D et parallèle à ( BC), c'est-à-dire la droite ( DE). Donc: h (( BC)) = ( DE).
Montrer que: ( EF, EH) ≡ 5π/2 [ 2π]. Montrer que: = a 2 /2 et que: = −a 2 √3. Montrer que: GH 2 = 5a 2 et que: FH 2 = ( 5 + 2√3) a 2. Calculer: On pose: ( GF, GH) ≡ θ [ 2π]. Montrer que: cos θ = ( 1−2√3) √5/10 Calculer: GK. Exercice 2 (le calcul trigonométrique)
Résoudre dans] 0, π] l'inéquation suivante ( I): 2 cos 2 x − cos x ≺ 0. Soit x un réel. On pose: A ( x) = cos x x Montrer que pour tout x de ℝ: A ( π/2 − x) = A ( x) et que: A ( π + x) = A ( x). Montrer que pour tout x de ℝ tel que: x ≠ π/2 + kπ avec k ∈ ℤ. A ( x) = tan x / 1 +tan 2 x Résoudre dans l'intervalle] −π, π] l'équation: A ( x) = √3/4. Exercice 3 (transformation dans le plan)
Soit IAB un triangle et soient C et D deux points tels que: IC = 1/3IA et ID= 1/3IB. On considère h l'homothétie qui transforme A en C et B en D. Déterminer le rapport et le centre de l'homothétie. La droite passant par D et parallèle à ( BC) coupe ( IA) en E. Déterminer l'image de la droite ( BC) par h. Montrer que: h ( C) = E.
IAB est un triangle et soient C et D deux points tels que: IC = 1/3IA et ID = 1/3IB.
Description
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