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Soutien maths - Suites arithmetiques et géométriques
Cours maths 1ère S
Suites arithmetiques et géométriques
Les suites
Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui servent à modéliser bon nombre de situations de la vie courante. Par exemple, les suites arithmétiques permettent de décrire l'amortissement des matériels informatiques achetés par une entreprise. Les placements financiers avec taux d'intérêts ou les prêts bancaires sont modélisés avec des suites géométriques. Suites arithmétiques
Définition:
Une suite
est une suite arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel que, pour tout
on ait
Si la suite
est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même. Cours maths suite arithmétique géométrique 2017. U n suite arithmétique? •
Quelques points importants à retenir
Pour montrer qu'une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu'une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu'il existe un nombre réel r indépendant de n tel que, pour tout,
Autrement dit, il faut montrer que la différence
est constante:
Pour montrer qu'une suite n'est pas une suite arithmétique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, la différence
n'est pas constante.
Cours Maths Suite Arithmétique Géométriques
I Généralités
Définition 1: Une suite $\left(u_n\right)$ est dite géométriques s'il existe un réel $q$ non nul tel que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}= q\times u_n$. Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite $\left(u_n\right)$. Remarques:
Cela signifie donc que si le premier terme est non nul alors le quotient entre deux termes consécutifs quelconques d'une suite arithmétique est constant. On a donc la définition par récurrence des suites géométriques. Exemple: La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=4\times 0, 3^n$ est géométrique. Cours : Suites géométriques. En effet, pour tout entier naturel $n$ on a:
$\begin{align*} u_{n+1}=4\times 0, 3^{n+1} \\
&=4\times 0, 3^n\times 0, 3\\
&=0, 3u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0, 3$. Propriété 1: On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0\times q^n$. Exemple: On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $-4$ et de premier terme $u_0=5$.
Cours Maths Suite Arithmétique Géométrique Pour
La formule précédente permet de calculer directement [latex]u_{100}[/latex] (par exemple):
[latex]u_{100}=u_{0}+100\times r=500+100\times 3=800[/latex]
Réciproquement, si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont deux nombres réels et si la suite [latex]\left(u_{n}\right)[/latex] est définie par [latex]u_{n}=a\times n+b[/latex] alors cette suite est une suite arithmétique de raison [latex]r=a[/latex] et de premier terme [latex]u_{0}=b[/latex]. Démonstration
[latex]u_{n+1}-u_{n}=a\left(n+1\right)+b-\left(an+b\right)=an+a+b-an-b=a[/latex]
et
[latex]u_{0}=a\times 0+b=b[/latex]
Les points de coordonnées [latex]\left(n; u_{n}\right)[/latex] représentant une suite arithmétique [latex]\left(u_{n}\right)[/latex] sont alignés. Cours maths suite arithmétique géométrique pour. Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de la suite arithmétique de raison [latex]r=0, 5[/latex] et de premier terme [latex]u_{0}=-1[/latex]. Suite arithmétique de raison [latex]r=0, 5[/latex] et de premier terme [latex]u_{0}=-1[/latex]
Théorème
Soit [latex]\left(u_{n}\right)[/latex] une suite arithmétique de raison [latex]r[/latex]:
si [latex]r > 0[/latex] alors [latex]\left(u_{n}\right)[/latex] est strictement croissante
si [latex]r=0[/latex] alors [latex]\left(u_{n}\right)[/latex] est constante
si [latex]r < 0[/latex] alors [latex]\left(u_{n}\right)[/latex] est strictement décroissante.
Cours Maths Suite Arithmétique Géométrique 2017
Exemple: La somme de tous les nombres entiers de 1 à 100 vaut \(\dfrac{100 \times 101}{2}=5050\). On attribue souvent ce calcul au mathématicien Carl Friedrich Gauss: une légende raconte que son instituteur aurait donné ce calcul à sa classe et que le jeune Gauss aurait trouvé la solution en un rien de temps. Mythe ou réalité? Toujours est-il que Gauss ne fut pas le premier à trouver la solution. On trouve en effet ce problème dans les Propositiones ad Acuendo Juvenes d'Alcuin, daté des années 800. Cours maths suite arithmétique géométrique 4. Il s'agit d'un des premiers livres d'énigmes de l'Histoire. Soit \((u_n)\) une suite arithmétique et \(n\in\mathbb{N}\).
Cours Maths Suite Arithmétique Géométrique Et
Exercices de Synthèse
Arithmétique, Synthèse 27
Arithmétique, Synthèse 27
Cours Maths Suite Arithmétique Géométrique 4
On a donc:
b n + 1 = 1, 0 1 5 × b n b_{n+1}=1, 015 \times b_n
Les charges de l'année de rang n + 1 n+1 s'obtiennent en ajoutant 1 2 12 aux charges de l'année de rang n n. Cours de maths lycée : suites arithmético-géométriques - Cours Thierry. Par conséquent:
c n + 1 = c n + 1 2 c_{n+1}=c_n+12
D'après les questions précédentes:
( b n) (b_n) est une suite géométrique de premier terme b 0 = 5 4 0 0 b_0=5400 et de raison 1, 0 1 5 1, 015. ( c n) (c_n) est une suite arithmétique de premier terme c 0 = 7 2 0 c_0=720 et de raison 1 2 12. Montrons que la suite ( l n) (l_n) n'est ni arithmétique ni géométrique:
l 1 − l 0 = 6 2 1 3 − 6 1 2 0 = 9 3 l_1 - l_0=6213 - 6120=93
l 2 − l 1 = 6 3 0 7, 2 1 5 − 6 2 1 3 = 9 4, 2 1 5 l_2 - l_1=6307, 215 - 6213=94, 215
La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite ( l n) (l_n) n'est pas arithmétique. l 1 l 0 = 6 2 1 3 6 1 2 0 ≈ 1, 0 1 5 2 0 \frac{l_1}{l_0} = \frac{6213}{6120} \approx 1, 01520 (à 1 0 − 5 10^{^ - 5} près)
l 2 l 1 = 6 3 0 7, 2 1 5 6 2 1 3 ≈ 1, 0 1 5 1 6 \frac{l_2}{l_1} = \frac{6307, 215}{6213} \approx 1, 01516 (à 1 0 − 5 10^{^ - 5} près)
Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite ( l n) (l_n) n'est pas géométrique.
Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans. 3. Sens de variation d'une suite arithmétique
D'après la définition du sens de
variation d'une suite, celui d'une suite
arithmétique va dépendre du signe de sa raison
r:
Si r > 0
alors la suite arithmétique est croissante,
Si r < 0 alors la
suite arithmétique est
décroissante,
Si r = 0
alors la suite arithmétique est constante. Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle
est croissante:
U 0 = 1;
U 1 = 5;
U 2 = 9;
U 3 = 13…
Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle
est décroissante:
U 0 = 4;
U 1 = − 1;
U 2 = − 6;
U 3 = − 11…
4. Représentation graphique d'une suite
arithmétique
Soit ( U n)une suite arithmétique de
raison 3 et de premier terme
U 0 = 1. U 1 = 4;
U 2 = 7;
U 3 = 10; U 4 = 13…
Propriété:
Tous les points d'une suite arithmétique sont
alignés: on parle d'une croissance
linéaire. Suites arithmétiques et suites géométriques - Cours et exercices de Maths, Première Générale. Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours! Découvrez Maxicours
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