Rappel: on note $a>b$ lorsque $a-b$ est strictement positif, et $a\geq b$ lorsque $a-b\geq 0$. Intervalles
L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $-4\leq x < 3$, c'est-à-dire tels qu'à la fois $x\geq -4$ et $x< 3$ est représenté par la partie coloriée sur la droite numérique suivante:
On l'appelle l' intervalle $[-4;3[$. Indique un intervalle 1. Le sens des crochets indique si la borne appartient ou non à l'intervalle:
en $-4$, le crochet est tourné vers l'intérieur (on dit qu'il est fermé), car $-4$ appartient à l'intervalle. en $3$, le crochet est tourné vers l'extérieur (on dit qu'il est ouvert), car $3$ n'appartient pas à l'intervalle. L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x\geq 2$ est aussi un intervalle, illimité à droite: on le note $[2, +\infty[$ (lire $2$, plus l'infini). Il y a donc 8 types d'intervalles:
4 intervalles bornés:
4 intervalles non bornés:
Intersection et réunion de deux intervalles:
Soit $I$ et $J$ deux intervalles. l'intersection de $I$ et de $J$ est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$.
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B. on note de préférence les deux bornes d'un intervalle dans l'ordre croissant). Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3. Connexité et compacité [ modifier | modifier le code]
Les parties connexes de ℝ (pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles. Les intervalles fermés bornés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés segments. Ce sont les seuls intervalles réels compacts. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Borel-Lebesgue. Indique un intervalle pdf. Décomposition des ouverts de ℝ [ modifier | modifier le code]
Tout ouvert de ℝ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints [ 1]: ses composantes connexes. En analyse et en topologie [ modifier | modifier le code]
Les intervalles sont les parties de ℝ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivabilité. Un intervalle réel est dit non trivial s'il est non vide et non réduit à un point. On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que:
L'image par une fonction continue d'un intervalle de ℝ est un intervalle de ℝ ( théorème des valeurs intermédiaires).
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Tons et demi-tons: l'exemple de la gamme majeure
Tout comme le mètre ou le centimètre, le ton est l'unité de mesure de la musique occidentale (1 ton = 2 demi-tons) – le demi-ton étant l'intervalle le plus petit qui puisse exister entre deux notes. Illustration avec le manche d'une guitare et les touches d'un clavier de piano:
IMPORTANT: en anglais les termes utilisés sont " whole step " pour un ton et " half step " pour un demi-ton. La musique occidentale se base sur le système tonal et celui-ci est représenté par la gamme majeure. Cours seconde : intervalles, inégalités, inéquations. Celle-ci suit l'ordre suivant et ne change jamais, c'est une convention:
ton – ton – ½ ton – ton – ton – ton – ½ ton
Si on prend l'exemple ultra connu de la gamme de Do majeur, on se retrouve avec:
Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do
IMPORTANT:
Vous l'avez remarqué, la distance entre Mi/Fa et Si/Do est ½ ton. Gardez-le bien tête, vous allez en avoir besoin pendant toute votre vie de musicien
➤ Lire aussi: Apprendre le piano: lire les dièses et bémols sur une partition
Illustré sur un clavier de piano, c'est tout de suite plus clair:
la gamme de Do majeur correspond aux touches blanches en commençant par Do
les touches noires correspondent aux altérations (dièses et bémols)
il n'y a pas de touche noire entre Mi/Fa et Si/Do
Le schéma (ton, ton, ½ ton, ton, ton, ton, ½ ton) sert à construire des gammes majeures avec toutes les autres notes.
Indique Un Intervalle 1
Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Une fonction dérivable est croissante (au sens large) sur un intervalle non trivial si et seulement si sa dérivée reste positive (au sens large) sur cet intervalle [ 2]. Remarque: La fonction f: ℝ* → ℝ définie par f ( x) = x /| x | est dérivable sur ℝ*, et sa dérivée est identiquement nulle; mais f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle. Généralisation [ modifier | modifier le code]
Dans tout ensemble totalement ordonné ( S, ≤), on peut [ 3] définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). 🔎 Intervalle (mathématiques) : définition et explications. On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls):,,,,,,,
Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite. La cinquième notation est un cas particulier de section commençante ouverte [ 4]; les trois suivantes sont la section commençante fermée, la section finissante ouverte [ 5] et la section finissante fermée déterminées par a, respectivement.
↑ Remarque analogue: une section finissante n'a pas nécessairement une borne inférieure. ↑ J. -M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques-1 Algèbre, Dunod, 1987
( ISBN 2040164502), p. 52. Article connexe [ modifier | modifier le code]
Arithmétique des intervalles
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