En sommant la série de Fourier de S, on obtient bien
Convention alternative [ modifier | modifier le code]
Si l'on utilise les conventions suivantes:
alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec t = 0 et a = 1) [ 2]:
Sur les conditions de convergence [ modifier | modifier le code]
Une façon pratique de passer outre les conditions de régularité imposées à la fonction f est de se placer dans le contexte plus général de la théorie des distributions. Si l'on note la distribution de Dirac alors si l'on introduit la distribution suivante:
une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que est sa propre transformée de Fourier. Applications de la resommation de Poisson [ modifier | modifier le code]
Les exemples les plus élémentaires de cette formule permettent de déterminer des sommes simples d'entiers:,
ou bien encore:. Formule de poisson physique gratuit. On les convertit en effet en séries géométriques qui peuvent être sommées exactement [ 3]. De façon générale, la resommation de Poisson est utile dans la mesure où une série qui converge lentement dans l'espace direct peut être transformée en une série convergeant beaucoup plus vite dans l'espace de Fourier (si l'on prend l'exemple de fonctions gaussiennes, une loi normale de grande variance dans l'espace direct est convertie en une loi normale de variance petite dans l'espace de Fourier).
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Cette relation met en évidence le fait que ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait! ). Cas d'un stratifié (isotrope transverse) [ modifier | modifier le code]
Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante:
où et sont les modules de Young des matériaux et est le coefficient secondaire de Poisson. Cas des matériaux naturels [ modifier | modifier le code]
Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement. Définition | Coefficient de Poisson | Futura Sciences. Pour les matériaux très rigides il peut être plus commode de mesurer la vitesse de propagation des ondes P et des ondes S et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation:. Corps simples [ modifier | modifier le code]
La plupart des corps simples à l' état solide ont un coefficient de Poisson compris entre 0, 2 et 0, 4. Sur 64 de ces corps simples [ 1], 6 seulement ont un coefficient supérieur à 0, 4 ( Si: 0, 422; Au: 0, 424; Pb: 0, 442; Mo: 0, 458; Cs: 0, 460; Tl: 0, 468), et 4 un coefficient inférieur à 0, 2 ( Ru: 0, 188; Eu: 0, 139; Be: 0, 121; U: 0, 095); aucun n'est auxétique.
25*(V[i-1, j] + V[i+1, j] + V[i, j+1] + V[i, j-1] + C[i, j])
Et comme il s'agit d'une méthode de relaxation, je parcours tous les points intérieurs de la grille autant de fois que nécessaire pour que la différence entre la valeur du potentiel en chaque point de la grille entre deux itérations soit inférieure à une quantité que j'aurais fixée, qui sera la précision de mon calcul. Le script
La première partie du script fixe les constantes de calcul et les constantes physiques et construit la grille V dont on aura besoin pour les calculs. Rappels mathématiques, compléments d'électrostatique et magnétostatique - Équation de Poisson. Cette partie n'attire aucune remarque particulère. Puis je définie les conditions aux limites et les conditions initiales à l'intérieur de la grille, car je vous rappelle que nous sommes en présence d'un problème de Dirichlet. le code est le suivant:
V[0, :] = V0 # bord supérieur
V[:, 0] = V0 # bord gauche
V[:, -1] = V0 # bord droit
V[-1, :] = V0 # bord inférieur
pour les conditions aux limites de la grille. Les cotés de la grille sont au potentiel nul.
De Laplace à Poisson
Dans une page précédente, nous avons étudié l'équation de Laplace et sa résolution numérique par des méthodes aux différences finies. Cette équation, dont la forme générale est \( \Delta V = 0 \) permet, entre autres, de calculer le potentiel créé par une répartition de charges électriques externes dans un domaine fermé vide de charge. Les domaines d'application de cette EDP elliptique homogène sont multiples: mécanique des fluides, thermique et même analyse financière. Formule de poisson physique des. Dans la présente page, nous allons examiner une équation très proche de l'équation de Laplace: l'équation de Poisson. C'est aussi une équation aux dérivées partielles elliptique, de forme laplacienne, dont l'expression générale est \( \Delta V = f(x_0,.., x_i) \). Plus précisément, je vais aborder la résolution numérique de cette équation, dans une de ses formes particulières, qui est \( \Delta V = K \), avec K une constante non nulle bien sur! Un peu de physique
L'équation de Poisson
Imaginons une région de l'espace où il existe une distribution de charges \( \rho(x, y) \).
Si nous faisons désormais intervenir le potentiel électrique, nous obtenons l'équation suivante: si nous posons
comme nous venons de montrer que
alors
Cette équation est dite équation de Poisson et elle relie le potentiel à ses sources. C'est cette équation qui est employée en pratique sur ordinateur pour déterminer des potentiels dans des situations arbitraires (accélérateur de particules, four micro-ondes, molécules complexes... L'équation de Poisson. ). Dans le cas où la charge est nulle (dans le vide par exemple) on obtient l'équation dite de Laplace
Cette équation apparaît souvent dans d'autres sous-disciplines de la physique (thermique, etc). La plupart du temps elle permet de prévoir une dépendance linéaire du potentiel dans le vide pour raccorder deux conditions aux limites: cas des condensateurs par exemple. En effet à une dimension on obtient
donc
avec
une constante (correspondant au champ électrique); puis
une autre constante à déterminer en fonction de conditions aux limites.
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