Activités - BOULE AMICALE ET SARBACANE
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NAF Rev. 2 (FR 2008):
Activités de clubs de sports (9312Z)
NACE Rev. 2 (EU 2008):
Activités de clubs de sports (9312)
Conventions Collectives:
OPCO Cohésion sociale - Convention collective nationale des métiers de l'Éducation, de la Culture, des Loisirs, et de l'Animation agissant pour l'utilité sociale et environnementale, au service des Territoires dite ECLAT (ex Animation) (1518)
ISIC 4 (WORLD):
Activités des clubs sportifs (9312)
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Il y a tout ce qu'il faut pour faire la fête!
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On s'intéresse à la régularité de la série entière à l'intérieur de son intervalle de convergence $]-R, R[$. Théorème (intégration d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit $F$
une primitive de $f$. Alors, pour tout $x\in]-R, R[$,
$$F(x)=F(0)+\sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}. $$
Théorème (dérivation terme à terme): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-R, R[$. De plus, pour tout $x\in]-R, R[$ et tout $k\geq 0$, on a
$$f^{(k)}(x)=\sum_{n\geq k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k}. $$
Théorème (expression des coefficients d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors, pour tout $n\geq 0$,
$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n! Séries entières usuelles. }. $$
Corollaire: Si $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ et $g(x)=\sum_{n\geq 0} b_nx^n$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $n\geq 0$, $a_n=b_n$.
RÉSumÉ De Cours De Sup Et SpÉ T.S.I. - Analyse - SÉRies EntiÈRes
Calculer le rayon de convergence d'une série entière
Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on peut
utiliser la règle de d'Alembert (uniquement dans ces cas pratiques); si la série entière est de la forme $\sum_n a_n z^{pn}$, on pose
$u_{n}=a_n z^{pn}$ et on étudie la limite de $|u_{n+1}/u_n|$. La série va converger si cette limite est inférieure stricte à 1, diverger si la limite
est supérieure stricte à 1 ( voir cet exercice). trouver un encadrement ou un équivalent du terme général ( voir cet exercice). Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I. - Analyse - Séries Entières. Démontrer qu'une fonction est développable en série entière
Pour démontrer qu'une fonction est développable en série entière, on peut
pour les exemples pratiques, utiliser les développements en série entière usuels et les règles de sommation et de produits ( voir cet exercice);
pour les exercices théoriques, utiliser une formule de Taylor ( voir cet exercice).
Définition: Une série de Riemann est une série de la forme:
où
est un réel. Fondamental: La série de Riemann
converge si et seulement si. Définition: Une série de Bertrand est une série de la forme:
et
sont des réels. Fondamental: La série de Bertrand
converge si et seulement si
ou. Définition: Une série géométrique est une série de la forme:
est un réel ou un complexe. Une série est dérivée d'ordre p de la série géométrique
si elle est de la forme:
(définie pour). Fondamental: Les séries géométriques et leurs dérivées convergent si et seulement si:. Alors pour tout entier:. En particulier, si:... Définition: Une série exponentielle est une série de la forme:
est un réel ou un complexe. Fondamental: La série exponentielle
converge pour toute valeur de
et:. Fondamental: Conséquences: La série
converge pour tout réel
et:. La série
et:.