Droites du plan - Systèmes linéaires
I. Equations de droites
Propriété 1
Soient A et B deux points distincts du plan. La droite (AB) est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${AM}↖{→}$ soient colinéaires. Définition
Soit ${u}↖{→}$ un vecteur non nul et $d$ une droite. ${u}↖{→}$ est un vecteur directeur de $d$
si et seulement si
il existe deux points distincts A et B de $d$ tels que ${AB}↖{→}$ et ${u}↖{→}$ sont colinéaires. Propriété 2
Soient A un point et ${u}↖{→}$ un vecteur non nul. La droite passant par A et de vecteur directeur ${u}↖{→}$ est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs ${u}↖{→}$ et ${AM}↖{→}$ soient colinéaires. On remarque qu'une droite admet une infinité de vecteurs directeurs, tous non nuls et colinéaires. Équations de droites - Maths-cours.fr. Propriété 3
Soient $d$ et $d'$ deux droites de vecteurs directeurs respectifs ${u}↖{→}$ et ${u'}↖{→}$. $d$ est parallèle à $d'$ $⇔$ ${u}↖{→}$ et ${u'}↖{→}$ sont colinéaires. Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un repère.
Droites Du Plan Seconde Simple
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré
de la longueur de l'hypoténuse est égale
à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés. Sur la figure ci-dessous, a 2
= b 2 + c 2. Application
Le théorème de Pythagore permet de calculer la
longueur d'un côté d'un triangle
rectangle connaissant les deux autres. Exemple 1
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur BC
(arrondie au mm). Les configurations du plan - Assistance scolaire personnalisée et gratuite - ASP. Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le
théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
BC² = 3, 4² + 6, 7²
BC² = 11, 56 + 44, 89
BC² = 56, 45
BC = cm (valeur exacte)
BC 7, 5 cm (valeur arrondie au
mm)
Exemple 2
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur AB
7, 72² = 3, 12² + AB²
59, 5984 = 9, 7344 + AB²
AB² = 59, 5984 – 9, 7344
AB² = 49, 864
AB = m (valeur exacte)
BC 7, 06 m (valeur arrondie au
cm)
Droites Du Plan Seconde De La
D'où le tracé qui suit. Comme les 2 points proposés sont proches, on peut en chercher un troisième, en posant, par exemple, $x=3$, ce qui donne $y={7}/{3}$ (la croix rouge sur le graphique)
$d$ a pour équation cartésienne $2x-3y+1=0$. On pose: $a=2$, $b=-3$ et $c=1$. $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(-b;a)$
Soit: ${u}↖{→}(3;2)$
On calcule: $2x_N-3y_N+1=2×4-3×3+1=0$
Les coordonnées de N vérifient bien l'équation cartésienne de $d$. Donc le point $N(4;3)$ est sur $d$. Droites du plan seconde simple. On calcule: $2x_P-3y_P+1=2×5-3×7+1=-10$
Donc: $2x_P-3y_P+1≠0$
Les coordonnées de P ne vérifient pas l'équation cartésienne de $d$. Donc le point $P(5;7)$ n'est pas sur $d$. Réduire... Propriété 5
Soit $d$ la droite du plan d'équation cartésienne $ax+by+c=0$
Si $b≠0$, alors $d$ a pour équation réduite: $y={-a}/{b}x-{c}/{b}$
Son coefficient directeur est égal à ${-a}/{b}$
Si $b=0$, alors $d$ a pour équation réduite: $x=-{c}/{a}$
$d$ est alors parallèle à l'axe des ordonnées, et elle n'a pas de coefficient directeur. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A(-1;1)$ et de vecteur directeur ${u}↖{→}(3;2)$.
Droites Du Plan Seconde Pdf
De même, la seconde ligne est associée à la droite $d_2$ passant par les points $C(0;-1)$ et $D(1;0)$. D'où les tracés suivants:
Méthode 2: Cette méthode consiste à retrouver les équations réduites des droites associées à chaque ligne. $\{\table x-3y+3=0; x-y-1=0$ $⇔$ $\{\table -3y=-x-3; -y=-x+1$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; y=x-1$
La droite $d_1$ d'équation $y={1}/{3}x+1$ passe par $A(0;1)$ et son coefficient directeur vaut ${1}/{3}$. La droite $d_2$ d'équation $y=x-1$ passe par $C(0;-1)$ et son coefficient directeur vaut $1$. On retrouve les tracés obtenus avec la première méthode. 2. Graphiquement, on constate que $d_1$ et $d_2$ se coupent au point K de coordonnées $(3;2)$. Droites du plan seconde pdf. Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(3;2)$. 3. Avec les notations usuelles, on a: $a=1$, $b=-3$, $a'=1$ et $b'=-1$. On calcule: $ab'-a'b=1×(-1)-1×(-3)=2$. On a donc: $ab'-a'b≠0$. Donc le système a bien une solution unique. Résolution:
Méthode 1: Nous allons procéder par combinaisons linéaires. Les combinaisons choisies (produit d'une ligne par un nombre non nul, somme ou soustraction de lignes) sont explicitées à droite des lignes concernées.
Propriété 6
Deux droites d'équations cartésiennes $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ sont parallèles
$ab'-a'b=0$
Les droites d'équation cartésienne ${2}/{3}x-{5}/{7}y+{11}/{13}=0$ et $-{8}/{7}x+{9}/{8}y+{11}/{13}=0$ sont-elles parallèles? On pose: $a={2}/{3}$, $b=-{5}/{7}$ et $a'=-{8}/{7}$, $b'={9}/{8}$. On calcule $ab'-a'b={2}/{3}×{9}/{8}-(-{8}/{7})×(-{5}/{7})={18}/{24}-{40}/{49}=-{13}/{196}$
Donc: $ab'-a'b≠0$
Donc les droites ne sont pas parallèles. Droites du plan seconde de la. II.
Manipuler les vecteurs du plan
La translation
En maths de Seconde, le vecteur est présenté comme une translation géométrique, c'est-à-dire une projection d'un point ou d'une figure dans un plan. Par définition une translation requiert trois critères: une distance (longueur), un sens et une direction. Dans un plan, on représente la translation par une flèche pour indiquer le début et la fin de celle-ci, ainsi que sa direction. On dit qu'une translation qui transforme un point A en un point B associe tout point C à un unique point D. Un vecteur n'est pas positionné à un lieu précis du plan, même si c'est bien à partir d'un endroit précis qu'on va pouvoir le définir. Le vecteur lui-même peut être translaté. 2de gé - Droites du plan - Nomad Education. La figure suivante illustre parfaitement ce concept:
Vecteurs et coordonnées
Dans ce programme de maths en Seconde, vous apprendrez à définir les vecteurs dans un plan à l'aide d'un repère et de points aux coordonnées cartésiennes. Pour définir un vecteur, et si les coordonnées d'un point A et celles du point image B sont connues par la translation de ce vecteur, il suffit de soustraire les coordonnées de A à celles de B:
Exemple: soit A(3; −2), B(2; 4) des points dans un plan muni d'un repère (O, I, J), alors:
On constate que pour se déplacer de A à B, on avance de 1 dans le sens horizontal et de 5 à la verticale.
Vous voulez jouer à un jeu intéressant et facile avec quelques-uns de vos proches? Essayez alors le jeu du palet breton, car il va certainement vous plaire. Mais pour y jouer, il vous faut avant tout connaître ses règles. Celles-ci sont justement présentées ici. Quel est le but du jeu de palet breton? Palet breton jeu règle des trois. Originaire de la région de Bretagne, le palet breton est une variante du jeu de pétanque. Il se joue par équipe de un à quatre joueurs et la partie s'achève dès qu'une équipe a atteint 12 points. Mais la partie est rejouée ou considérée comme nulle lorsque le maître est envoyé hors de la planche. Cependant, l'objectif du jeu est de lancer des palets le plus proche possible du maître sans que ceux-ci ne rebondissent sur le sol. Rappelons que le maître est le plus petit des palets. Chaque palet lancé et qui se retrouve le plus proche possible du maître donne un point à son joueur. A voir aussi:
Un vrai succès pour les Escape Game
Comment se joue la partie? Pour démarrer la partie, il faut d'abord identifier l'équipe qui doit commencer.
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C'est un peu comme le cochonnet à la pétanque. La planche de bois est en général fabriquée en bois de peuplier, si possible dans un morceau sans aucun nœud. Le peuplier a été choisi car c'est un bois plutôt tendre, propice à ce genre de jeux. Comment jouer au jeu de palet breton? Le grand atout de ce loisir familial, c'est la simplicité des règles du jeu. On positionne le maître au centre de la planche en bois. Chaque joueur envoie un palet sur la planche pour s'approcher le plus possible du maître. Ensuite, le joueur le plus proche prend possession du maître et le relance sur la planche ainsi que deux palets. L'équipe adverse lance également deux palets. Palet breton jeu regle sur. A partir de là, l'équipe qui a la main, c'est-à-dire celle qui a le palet le plus proche du maître attend et l'autre équipe lance palet après palet jusqu'à reprendre la main. Quand plus personne n'a de palet en main, on compte les points et la manche est terminée. Une partie se joue en 12 points. Parfois, vous aurez besoin d'un compas pour départager deux palets très proches du maître.
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On peut y jouer par tous les temps ce qui est bien pratique pour les bretons. Il ne prend pas beaucoup de place donc vous pouvez jouer sous un abri quand il pleut. D'autres idées de jeux de plein air:
Jeux d'extérieur durant le confinement
Passionnée par les voyages et le tourisme, j'adore partager sur La Récréation mes bons plans, mes activités et lieux favoris. PALET BRETON – Touche du Bois. Je suis toujours à l'affût de nouveaux endroits à découvrir.
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Deux joueurs touchant le maître sont mis à égalité et on recommence le lancer. De même, un joueur chassant le maître de la planche fait recommencer la partie. Historique:
On retrouve des traces de jeux de palets dès le XIVème siècle. Les palets sont, à cette époque, des pierres plates, des galets ou des ardoises. François Rabelais fait jouer Gargantua des palets géants au XVIème siècle. Les pièces en fonte apparaissent dès la fin du XIXème siècle, comme mentionné par Louis Esquieu en 1890. Elles sont déjà à cette époque numérotées afin de les reconnaître. Palet breton : histoire et règles d'un jeu familial. Par la suite, au début du XXème siècle, surtout à partir des années 1920 où les concours se développent, les palets en fonte sont fabriqués par des fonderies de la région. Il semble que l'apparition des planches soit liée à la pratique des enfants de jouer sur des embouts de tombereau pour délimiter un espace de jeu précis. Néanmoins, les tombereaux ou charrettes étant fabriquées dans un bois assez dur, comme le chêne ou le châtaignier, la demande va se faire aux menuisiers de fabriquer des planches dans un bois plus tendre, le peuplier.
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Les premières apparitions de planches à jouer datent du début du XXème siècle, dans les années 1910-1920.
LE JEU COMMENCE: On pose le maître au centre de la "planche". Un joueur de la première équipe lance son palet puis c'est au tour d'un joueur de la deuxième équipe. Le plus près du mettre choisit son premier équipier ensuite c'est à l'autre joueur et ainsi de suite. La première équipe constituée lance le maître sur la planche. Si elle le manque 3 fois, ce sera à l'équipe adverse de le lancer. Le jeu du Palet sur planche ou palet breton. DEROULEMENT: Après avoir lancé le maître le premier joueur lance successivement deux de ses palets. Puis entre en jeu le représentant de l'autre équipe qui jette à son tour deux palets. Le joueur suivant fera partie de l'équipe perdante, une équipe joue tant qu'elle ne domine pas. Si au cours du jeu, un joueur chasse le maître hors de la planche, on recommence le jeu. Seuls comptent les points des galets les plus proches du maître. A la partie suivante, lance le maître celui qui a gagné la partie précédente. LE JEU S'ACHEVE: Lorsque l'une des deux équipes atteint 12 points. REMARQUES PEDAGOGIQUES: Il est important d'adapter la distance de lancer à l'‰ge des enfants.