7. 3 Étude de la fonction exponentielle
7. 3. 1 Limites en +∞ et en -∞
Propriété 7. 4
lim x→+∞ e x =+∞ et lim x→-∞ e x =0
Démonstration:
Limite en -∞
lim x→0 exp ln x = lim x→-∞ exp ( X) Or exp ln x =x donc: lim x→0 exp ln x = lim x→0 x=0 donc: lim x→-∞ e x =0
Limite en +∞
lim x→+∞ exp ln x = lim x→+∞ exp ( X) Or exp ln x =x donc: lim x→+∞ exp ln x = lim x→+∞ x=+∞ donc: lim x→+∞ e x =+∞
7. 2 Dérivée
Propriété 7. Les fonction exponentielle terminale es histoire. 5
La dérivée de la fonction exponentielle sur R est elle-même:
pour tout x ∈ R, on a exp ' ( x) = exp( x). Soit f la fonction définie sur R par f ( x) = ln(exp( x)). Pour tout x ∈ R, on a f ( x) = x, donc f' ( x) = 1. Or en utilisant le théorème 6. 1 sur la dérivée
d'une fonction composée avec la fonction ln, on a:
Pour x ∈ R, f ' x = exp'(x) exp ( x), Ainsi: exp'(x) exp ( x) =1 d ' où ex p ' x = exp x. 7. 3 Variations et courbe
Propriété 7. 6
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
On a vu que la dérivée de l'exponentielle est elle-même et que l'exponentielle est une fonction strictement positive.
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1 - Définition de la fonction exponentielle
Commençons par un petit théorème avant la définition. Théorème
Théorème exponentielle Si f est une fonction dérivable non nulle sur vérifiant f(x + y) = f(x) × f(y) avec x, y ∈, alors f(0) = 1 et pour tout réel x, f'(x) = k f(x) où k = f'(0). Une fonction qui vérifie l'égalité f(x + y) = f(x) × f(y), vous en connaissez beaucoup, vous? On connait seulement la fonction puissance. Oui, on a. La fonction exponentielle est construite de la même façon. La fonction exponentielle - Cours - Fiches de révision. Avec un exposant. Définition
Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur telle que f' = f et f(0) = 1. Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle. On la note:
f(x) = exp( x) = e x
La variable x est l'exposant du nombre e définit au chapitre précédent. Vous noterez donc bien que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle: ( e x)'= e x. Ainsi que: e 0 = 1. Oui, encore une fois, tous les nombres élevés à la puissance 0 valent 1.
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I. Généralités. Théorème et définition:
Il existe une unique fonction f f, dérivable sur R \mathbb R telle que
f ′ = f f'=f
f ( 0) = 1 f(0)=1
On la nomme fonction exponentielle; elle sera notée exp () \exp()
Démonstration:
L'existence est admise. On montre ici l'unicité d'une telle fonction. Etape 1
Montrons d'abord qu'une telle fonction ne s'annule pas sur R \mathbb R.
Posons
h ( x) = f ( x) f ( − x) h(x)=f(x)f(-x)
f f étant définie et dérivable sur R \mathbb R, h h est définie et dérivable sur R \mathbb R.
On a alors
h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) + f ( x) ( − f ′ ( − x)) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))
h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) − f ( x) f ′ ( − x) h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)
Or par hypothèse,
Donc
h ′ ( x) = f ( x) f ( − x) − f ( x) f ( − x) = 0 h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0
Ainsi, la fonction h est constante. Fonctions exponentielles en Terminale ES et L - Maths-cours.fr. On connait une valeur de f: f ( 0) = 1 f(0)=1.
1. Définition
Il existe une seule fonction dérivable sur telle que:
On appelle cette fonction la fonction exponentielle
et on la note. On note le nombre par. D'où:
Exemple:
Soit la fonction définie
par alors
2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
3. Propriétés algébriques
Soit et deux nombres réels et
un nombre entier naturel. On a les
propriétés algébriques
suivantes:
Exemple
Ces propriétés algébriques peuvent
être mémorisées en pensant aux
propriétés des puissances et elles se
démontrent en utilisant la relation fonctionnelle
de la fonction exponentielle. Les fonction exponentielle terminale es production website. Preuves:
( n facteurs)
(somme de n termes de
a)
4. Le nombre e
Le nombre e
est un nombre réel défini par e 1 = e.
La notation e
est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur
approchée est
Remarque: par combinaison, les valeurs e n sont
aussi des valeurs exactes. Montrons que. On a donc
Résoudre dans l'équation. Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur
approchée à 0, 01 près. 5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x
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