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Théorème d'encadrement (ou théorème des « gendarmes »)
On considère trois suites réelles et telles qu'il existe un entier tel que
si,. Si les suites et conver- gent vers le réel, la suite converge vers. Cas particuliers:
1. On considère deux suites réelles et telles qu'il existe un entier tel que si,
Si la suite converge vers 0, la suite converge vers. 2. On considère deux suites réelles et telles qu'il existe un entier tel que si,
(car). 3. Suites - Analyse - Maths - Tle Générale | Annabac. On considère deux suites réelles et et un réel telles qu'il existe un entier tel que si,
Dans la suite du cours on parlera de théorème d'encadrement. 3. 4. Aide graphique pour représenter les valeurs d'une suite
Aide graphique ppour représenter quelques valeurs de la suite définie par et pour. Dans un même repère orthogonal:
Un dessin bien fait peut suggérer une conjecture sur la monotonie de la suite, sur un éventuel majorant un minorant de la suite et vous conduire à prouver qu'elle converge ou qu'elle tend vers ou. Le dessin suivant doit vous conduire:
a) à démontrer que la suite vérifie
b) à calculer l'abscisse du point d'intersection de et représenté ci-dessus.
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c) à démontrer que
d) à démontrer que la suite converge vers. 4. Opérations sur les limites en terminale
4. Cas des suites convergentes en terminale
On suppose dans la suite que les suites et convergent avec
1. Si, la suite converge et
2. La suite converge et
3. La suite converge et
4. Si la suite converge vers, pour assez grand et. 5. Si la suite converge vers, pour assez grand, on peut définir et. Dans le cas d'une différence de suites, on se ramene à l'étude de la somme de deux suites en écrivant. Elle converge vers. Dans le cas d'un quotient de suites, on peut toujours se ramener à l'étude du produit de deux suites en écrivant. 4. Avec des limites infinies
Dans ce paragraphe, et sont deux suites réelles. 1. Si la suite converge vers et s'il existe tel que si,,. Mathématiques : Contrôles terminale ES. 1bis. Si la suite converge vers et s'il existe tel que si,,. 2. Si la suite tend vers (ou vers), il existe tel que si, et. 3. Si et (resp. ),
(resp. ). 4. ),
5. Formes indéterminées des suites en terminale
On examine les cas où l'on ne peut utiliser les résultats du paragraphe 4. pour les limites en terminale pour les sommes, produits ou quotients.
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Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs. Donc $u_{n+1} > 0$
La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$. Conclusion: La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$. $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
& = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
& = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
& = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
\end{align}$$
On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est donc croissante. a. $~$
$$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
& = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
&= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
&=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
&= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$. Suites terminale es exercices corrigés. b. $v_0 = \dfrac{0, 5}{1 – 0, 5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
1. a) Le revenu annuel augmente de 2% par an, donc: R 1 = R 0 + (2/100) × R 0, soit R 1 = 1, 02 R 0. Donc: R 1 = 91 800 francs. Un an plus tard, ce revenu a encore augmenté de 2%, donc:
R 2 = 91 800 + 91 800 × (2/100) = 1, 02 R 1, soit R 2 = 93 636 francs. L'impôt augmente de 3% par an, donc:
I 1 = 8 000 + (3/100) × 8 000 = 8 000 × 1, 03, soit I 1 = 8 240 francs. I 2 = I 1 + (3/100) × I 1 = 8 240 × 1, 03, soit I 2 = 8487, 20 francs. Ainsi, nous avons:
U 1 = R 1 - I 1 = 83 560 francs. U 2 = R 2 - I 2 = 85 148, 80 francs. b) Soit n un entier positif quelconque. Le revenu annuel augmente de 2% par an, donc à l'année (1990 + n + 1) le revenu R n+1 est donné par R n+1 = R n + (2/100) × R n = 1, 02R n. (R n) est donc une suite géométrique de raison 1, 02 et de premier terme R 0 = 90 000. Ainsi, pour tout entier naturel n, R n = 90 000 × (1, 02) n. Exercices corrigés sur les suites terminale es strasbourg. Pour tout entier n, le montant I n+1 de l'impôt à l'année (1990 + n+ 1) a augmenté de 3% par rapport à celui de l'année (1990 + n). Nous avons donc: I n+1 = I n + (3/100) × I n = 1, 03I n.