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Introduction aux droites
Cette page s'adresse aux élèves de seconde et des premières technologiques. Dans les programmes de maths, les droites dans le plan repéré se rencontrent dans deux contextes: en tant que représentation graphique des fonctions affines et linéaires mais aussi en tant qu'objet mathématique spécifique, ce qui permet par exemple de caractériser des figures géométriques. Ces deux notions sont de toute façon très liées et ont déjà été abordées en classe de troisième. Droites du plan seconde et. Situons-nous en terrain connu. En l'occurrence, dans un plan muni d'un repère \((O\, ;I, J). \)
Définition
Une droite \((AB)\) est l' ensemble des points \(M(x\, ;y)\) du plan qui sont alignés avec \(A\) et \(B. \) Cela peut sembler bizarre de définir une droite par un ensemble de points mais quand on y réfléchit un peu, pourquoi pas…
Équations de droites
Tous ces points \(M\) ont des coordonnées qui vérifient une même relation, nommée équation cartésienne de la droite \((AB). \)
Cette relation algébrique s'écrit sous la forme \(αx + βy + δ = 0\) (\(α, \) \(β\) et \(δ\) étant des réels).
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Il reste une banale équation dont l'inconnue est \(b. \) Soit \(b = y_A - ax_A. \)
Une autre façon de présenter les étapes de calcul consiste à écrire un système d'équations (deux équations à deux inconnues, \(a\) et \(b\)). Exemple: quelle est l'expression d'une mystérieuse droite qui passerait par les points de coordonnées \((-1\, ; 4)\) et \((6\, ; -3)\)? Préalablement, on précise que les abscisses étant différentes, la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et donc que son équation réduite est de forme \(y = ax + b. \)
Première technique: la formule du coefficient directeur. \(a = \frac{-3-4}{6+1} = -1\)
Il reste à trouver \(b\) en remplaçant \(a\) sur l'un des deux points connus. Le premier? D'accord. Donc, \(4 = (-1) × (-1) + b, \) d'où \(b = 3. \) Conclusion, \(y = -x + 3. \)
Deuxième technique: on pose un système d'équations. Les inconnues ne sont pas \(x\) et \(y\) mais le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b. Programme de Maths en Seconde : la géométrie. \) On sait que le premier terme d'un couple est l'abscisse et le deuxième est l'ordonnée.
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\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - a + b = 4}\\
{6a + b = - 3}
\end{array}} \right. \)
Commençons par retirer la première équation de la deuxième. On obtient \(7a = -7, \) donc \(a = -1. \) Ce qui nous amène à \(b = 3. \) Par conséquent, \(y = -x + 3. \)
Comment tracer une droite à partir de deux points connus? Rien de plus simple. Droites du plan seconde édition. Deux points \(A\) et \(B\) suffisent pour tracer une droite. Ne pas oublier que la droite poursuit sa course infinie au-delà de \(A\) et de \(B. \)
Méthode graphique
Il existe une méthode qui permet aussi bien de tracer une droite que de connaître son coefficient directeur à partir d'une représentation graphique, à condition qu'un point soit facile à placer, par exemple l'ordonnée à l'origine, et que son coefficient directeur se présente sous forme d'entier relatif ou de fraction (technique utilisable sur une droite rationnelle). L'astuce consiste à partir d'un point de la droite bien identifiable (il vaut mieux que le plan repéré soit représenté avec une grille) et à se déplacer d'une unité à droite.
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(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-y-1, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-x+y+1, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2y+4, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; y, =, 2$
$⇔$ $\{\table x-3×2+3, =, 0; y, =, 2 $
$⇔$ $\{\table x=3; y=2 $
Méthode 2: Nous allons procéder par substitution. (S) $⇔$ $\{\table y={-1}/{-3}x-{3}/{-3}; x-y-1=0$
Remplacer $y$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde ligne
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-({1}/{3}x+1)-1=0$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-{1}/{3}x-1-1=0$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; {2}/{3}x=2$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x=2×{3}/{2}=3$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}×3+1=2; x=3$
Méthode 3: Pour les curieux, nous allons procéder par combinaisons linéaires en choisissant d'éliminer $y$ cette fois-ci. $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); 3x-3y-3, =, 3×0, (3L_2 ⇨L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-3x+3y+3, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2x+6, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; x, =, 3$
$⇔$ $\{\table 3-3y+3, =, 0; x, =, 3 $
$⇔$ $\{\table y=2; x=3 $
On retrouve la solution du système $(x;y)=(3;2)$.
Soient A A et B B deux points du plan tels que x A ≠ x B x_A\neq x_B. Le coefficient directeur de la droite ( A B) \left(AB\right) est:
m = y B − y A x B − x A m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
Remarque
Une fois que le coefficient directeur de la droite ( A B) \left(AB\right) est connu, on peut trouver l'ordonnée à l'origine en sachant que la droite ( A B) \left(AB\right) passe par le point A A donc que les coordonnées de A A vérifient l'équation de la droite. Les configurations du plan - Maxicours. Exemple
On recherche l'équation de la droite passant par les points A ( 1; 3) A\left(1; 3\right) et B ( 3; 5) B\left(3; 5\right). Les points A A et B B n'ayant pas la même abscisse, cette équation est du type y = m x + p y=mx+p avec:
m = y B − y A x B − x A = 5 − 3 3 − 1 = 2 2 = 1 m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\frac{5 - 3}{3 - 1}=\frac{2}{2}=1
Donc l'équation de ( A B) \left(AB\right) est de la forme y = x + p y=x+p. Comme cette droite passe par A A, l'équation est vérifiée si on remplace x x et y y par les coordonnées de A A donc:
3 = 1 + p 3=1+p soit p = 2 p=2.