Primitives des fonctions usuelles
Monômes
On sait que si n désigne un entier positif la dérivée de x n est nx n-1. Il en résulte aussitôt que:
Les primitives de x n sur ℝ sont de la forme x n+1 /(n+1)+K
Et en appliquant la règle de dérivation du produit par un scalaire
Les primitives de a n x n sur ℝ sont de la forme a n x n+1 /(n+1)+K
Polynômes
Les polynômes sont des sommes de monômes, en appliquant la règle de dérivation des sommes il vient:
Les primitives de la fonction polynomiale
p
(
x)
=
∑
i
0
n
a
x
sur ℝ
sont de la forme
P
1
+
−
K.
Ce sont donc également des fonctions polynomiales. Puissances entières négatives
On sait que si n est un entier positif la dérivée de x -n est -nx n-1. Il en résulte que:
Si n>1 les primitives de x -n sur ℝ sont
K
Ceci ne s'applique pas au cas n=1. Il n'existe aucune fonction rationnelle connue dont la dérivée soit égale à 1/x. Nous admettrons dans ce chapitre (nous le démontrerons dans le chapitre suivant) qu'une primitive de 1/x existe prenant la valeur 0 en x=1.
Primitives Des Fonctions Usuelles Tableau
Déterminer a, b et c de façon que f x = a x + b + c x - 2 2. Calculer les primitives de f sur I = [ 3, + ∞ [. En déduire la primitive F de f sachant que F 3 = 11 2. Affichage en Diaporama
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Cet article a pour but de présenter les formules des primitives pour la plupart des fonctions dites usuelles. Nous allons essayer d'être exhaustifs pour cette fiche-mémoire. Si vous cherchez des exercices sur les intégrales et que vous êtes dans le supérieur, c'est à cet endroit qu'il faut aller. Dans la suite, c désigne une constante réelle. Primitives des puissances Commençons par les cas les plus simples: les fonctions puissances et les fonctions issues de l' exponentielle: 1, x, x n, la fonction inverse ou une puissance quelconque.
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Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l' analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles. Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante; nous désignons par C une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point. — appelé intégrale indéfinie de f — désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction f à une constante additive près. Règles générales d'intégration [ modifier | modifier le code]
Linéarité:
relation de Chasles: et en particulier:
intégration par parties: moyen mnémotechnique:
avec et d x implicite. intégration par changement de variable (si f et φ' sont continues):. Primitives de fonctions simples [ modifier | modifier le code]
Primitives de fonctions rationnelles [ modifier | modifier le code]
Primitives de fonctions logarithmes [ modifier | modifier le code]
Plus généralement, une primitive n -ième de est:.
Primitives Des Fonctions Usuelles Pas
Sommaire: Définition - Ensemble des
primitives d'une fonction - Tableau des primitives usuelles
1. Définition
2. Ensemble des primitives d'une fonction, unicité avec
condition initiale
3. Tableau des primitives usuelles
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Exemple 1 – Déterminer une
primitive sur de la fonction f: x → 5 x ( x 2 + 1) 3. D'après le tableau de
dérivées précédent, on a vu
que la dérivée de la fonction
u n +1
vaut ( n +1) u n × u '. Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la
fonction ( n +1) u n × u'
est donc u n +1. Important
On déduit de la propriété
précédente que la primitive de la
fonction u n × u'
est. Ici, on pose u = x 2 + 1,
u' = 2 x (on
obtient u' en
dérivant u) et n = 3. La primitive de la fonction u'
× u n = 2 x ( x 2 + 1) 3 est
donc. On multiplie l'ensemble par pour obtenir la fonction f. La primitive de la fonction f est donc, avec k une constante. Exemple 2 – Déterminer une
primitive sur de la fonction. que la dérivée de la
fonction vaut. fonction est donc. fonction est. Ici, on pose u = x 2 + x + 3,
u' = 2 x + 1
et n = 2. La primitive de la fonction = est donc
=. Exemple 3 – Déterminer une
primitive sur pour x > 2
de:. Ici, on pose u = 4 x – 8
et u' = 4. La primitive de la fonction est donc. La primitive de la fonction f est donc, avec k une constante.
On désigne par u une fonction dérivable sur l'intervalle I; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
f F Conditions
u'u^{n} \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} si n \leq- 2, u\left(x\right) \neq 0 sur I
\dfrac{u'}{u} \ln\left(u\right) u \gt 0
\dfrac{u'}{\sqrt{u}} 2\sqrt{u} u \gt 0
u'e^{u} e^{u}
u'\sin\left(u\right) - \cos\left(u\right)
u'\cos\left(u\right) \sin\left(u\right)
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