Il est utile de connaître par cœur la liste des nombres premiers inférieurs à 20 (ou plus... ):
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19
Théorème
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près). Divisions euclidiennes à 2 chiffres du CM1 au CM2 - Fiche 1 - Divisions - Tête à modeler. Ce résultat très important est également appelé « Théorème fondamental de l'arithmétique »
1 0 = 2 × 5 10 = 2 \times 5
8 4 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2 2 × 3 × 7 84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7
2 3 = 2 3 23 = 23 (un seul facteur car 23 est premier! ) Méthode
Pour décomposer un nombre N N en produit de facteurs premiers, on peut essayer de le diviser successivement par chaque nombre premier inférieur ou égal à n \sqrt{ n}. Le méthode détaillée est décrite sur la fiche: Décomposition en produit de facteurs premiers. 3 - PGCD
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a a et b b est le plus grand diviseur commun à a a et à b b, c'est à dire le plus grand entier naturel qui divise à la fois a a et b b.
Soit à déterminer le PGCD de 6 0 0 600 et 3 1 5 315.
Exercice Sur La Division Euclidienne 4Ème
1 - Division euclidienne
Définition
Soient a a et b b, deux nombres entiers naturels (c'est à dire positifs) avec b ≠ 0 b\neq 0. Effectuer la division euclidienne de a a par b b, c'est trouver deux entiers naturels q q et r r tels que:
a = b × q + r a = b\times q+r et r < b r < b
q q s'appelle le quotient et r r le reste. Exemple
Écriture en ligne:
6 8 9 4 = 2 3 × 2 9 9 + 1 7 6894 = 23\times 299 + 17
2 9 9 299 est le quotient et 1 7 17 le reste. Remarque
Sur la plupart des calculatrices de collège la touche qui permet d'effectuer la division euclidienne est notée: \img{touche-divise}{0. 008}. Par exemple, la suite de touches à entrer pour obtenir la division euclidienne de 6 8 9 4 6894 par 2 3 23 sur une TI-Collège est:
et voici le résultat obtenu à l'écran:
On dit que a a est divisible par b b si le reste de la division euclidienne de a a par b b est nul. Cela revient à dire qu'il existe un entier naturel q q tel que a = b × q a = b\times q. Fiche d'Exercices : Divisibilité et Division Euclidienne. Les expressions suivantes sont synonymes:
a a est divisible par b b
a a est un multiple de b b
b b est un diviseur de a a
b b divise a a (que l'on écrit parfois b ∣ a b | a)
La division euclidienne de 6 3 0 630 par 1 5 15 donne un quotient de 4 2 42 et un reste nul.
Exercice Sur La Division Euclidienne 6Eme
On a donc 6 3 0 = 1 5 × 4 2 630 = 15\times 42. On peut dire que:
6 3 0 630 est divisible par 1 5 15
6 3 0 630 est un multiple de 1 5 15
1 5 15 est un diviseur de 6 3 0 630
1 5 15 divise 6 3 0 630
(On peut aussi dire que 6 3 0 630 est divisible par 4 2 42, etc. )
Critères de divisibilité
Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exercice sur la division euclidienne des polynomes. Un entier naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Un entier naturel est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Un entier naturel est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Remarques
Attention: Pour les critères de divisibilité par 3 et par 9, il faut effectuer la somme des chiffres (et non regarder le chiffre des unités)
Il n'existe pas de critère de divisibilité par 7 qui soit très simple.
Exercice Sur La Division Euclidienne Des Polynomes
Nous vous invitons à choisir un autre créneau.
Exercice Sur La Division Euclidienne Polynome
15, 27, 53, 121 sont des nombres impairs. Critère de divisibilité par 4
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. 116 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4. 16 = 4 x 4 donc 116 est un multiple de 4. Critère de divisibilité par 5
Un nombre entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. 15, 40, 135, 280 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 0 ou par 5. Critère de divisibilité par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Le nombre 516 est-il divisible par 3? On a 5 + 1 + 6 = 12. Or 12 = 3 x 4. 12 est divisible par 3 donc 516 est divisible par 3. On a 516 = 172 x 3... Critère de divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de des chiffres est un multiple de 9. Exercice sur la division euclidienne 6eme. Le nombre 486 est-il divisible par 9? On a 4 + 8 + 6=18. Or 18=9 x 2. 18 est divisible par 9 donc 486 est divisible par 9. On a 486=5 4 x 9...
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exercice précédent, ou plus simplement: a = 3 et b = 2. Exercice 1-14 [ modifier | modifier le wikicode]
Soient a et b deux entiers relatifs distincts. On divise a et b par la différence a – b. Comparer les quotients et les restes de ces deux divisions euclidiennes. En remarquant que a = a – b + b, on trouve que si q et r sont le quotient et le reste de la division de b par a – b alors ceux de la division de a par a – b sont q + 1 et r.
Exercice 1-15 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit b un entier strictement positif et q un entier relatif. Pour quels entiers relatifs a le quotient de la division de a par b est-il égal à q? Pour a = bq + r avec 0 ≤ r < b, c'est-à-dire pour bq ≤ a < b(q+1). Exercice 1-16 [ modifier | modifier le wikicode]
Une division d'entiers positifs étant effectuée, on recommence la même opération après avoir augmenté le diviseur de x unités (x ≥ 0). Division euclidienne - Exercices 6e - Kwyk. Peut-on choisir x non nul pour que les deux opérations conduisent au même quotient? Lorsque le problème est possible, indiquer un procédé pour déterminer les solutions.
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