Maths: exercice de géométrie avec repère de seconde. Coordonnées de points, calculs de milieux et de distances, parallélogramme. Exercice N°105:
On se place dans un repère orthonormé. 1) Placer les points suivants:
A(-3; -4); B(-1; 6);
C(3; 2) et D(1; -8). 2) Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC]. Geometrie repère seconde 4. 3) Montrer que ABCD est un parallélogramme. E est le point tel que C soit le milieu du segment [EB]. 4) Montrer, à l'aide d'un calcul,
que les coordonnées de E sont (7; -2). Placer E.
5) Calculer CD et AE. 6) Quelle est la nature du quadrilatère ACED? Justifier. Bon courage,
Sylvain Jeuland
Exercice précédent: Géométrie 2D – Repère, points, longueurs et triangle – Seconde
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4) Coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle. Dans ce dernier paragraphe, nous allons mettre en oeuvre concrètement au travers d'un exercice toutes les propriétés que nous venons de voir. L'exercice:
A(-2; 5) et B(4; -7) sont deux points du plan. Le point C est défini par. Déterminer les coordonnées du point C. Cet exercice peut tre rsolue de plusieurs d'entre elles. Voici deux d'entre elles:
Deux réponses possibles:
Dans ce qui suit, le couple (x C; y C) désigne les coordonnées du point C que nous cherchons. Geometrie repère seconde nature. Deux cheminements sont possibles. 1ère solution. La plus simple: on cherche à réduire cette relation vectorielle. On va chercher à exprimer en fonction de. On utilise ainsi un peu de géométrie vectorielle avant de rentrer dans la géométrie analytique. La relation de Chasles nous permet de simplifier la relation vectorielle. Ainsi:
Le vecteur a pour coordonnées (x C + 2; y C 5). Comme (6; -12) alors le vecteur 2. a pour coordonnées (-12; 24). Vu que les vecteurs et 2.
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La démonstration du théorème requiert donc que nous prouvions successivement que:
Entamons les hostilités:
(i) Si = alors ils ont même coordonnées. Ou plutôt les coordonnées de lun sont les coordonnées de lautre. Ainsi vient-il que
x = x et y = y. Réciproquement:
(ii) Supposons que x = x et y = y. Ainsi les vecteurs (x; y) et (x'; y') sont-ils égaux. Ce qui quelque part est quand même rassurant! Coordonnées de vecteur, addition vectorielle et produit par un réel. Lavantage des coordonnées, cest quelles laissent tout passer: de vraies carpettes! De modestes preuves de ce modeste théorème:
Lénoncé comportant deux points, la démo comportera donc deux points. Il vient alors que:
Autrement dit, le vecteur k. Geometrie repère seconde 2017. a pour coordonnées (k. x; k. y). Lien entre coordonnées dun vecteur et celles dun point. Les coordonnées dun vecteur peuvent sexprimer en fonction des celles de A et de celles de B. La preuve (après la proposition... )
La preuve:
En effet, si A et B ont pour coordonnées respectives (x A; y A) et (x B; y B) alors
Ainsi:
Ainsi les coordonnées vecteur sont-elles (x B - x A; y B - y A).
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Remarque 1: Cette propriété est valable dans tous les repères, pas seulement dans les repères orthonormés. Remarque 2: Cette propriété sera très utile pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ou pour déterminer les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme connaissant celles des trois autres. Fiche méthode 1: Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Fiche méthode 2: Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d'un parallélogramme
3. Longueur d'un segment
Propriété 8: Dans un plan munit d'un repère orthonormé $(O;I, J)$, on considère les points $A\left(x_A, y_A\right)$ et $B\left(x_B, y_B\right)$. La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$. Repérage et problèmes de géométrie. Exemple: Dans un repère orthonormé $(O;I, J)$ on considère les points $A(4;-1)$ et $B(2;3)$. On a ainsi:
$$\begin{align*} AB^2 &= \left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2 \\
&= (2 – 4)^2 + \left(3 – (-1)\right)^2 \\
&= (-2)^2 + 4^2 \\
&= 4 + 16 \\
&= 20 \\
AB &= \sqrt{20}
\end{align*}$$
Remarque 1: Il est plus "pratique", du fait de l'utilisation de la racine carrée, de calculer tout d'abord $AB^2$ puis ensuite $AB$.
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3) Coordonnées dun vecteur et conséquences. Dans tout le paragraphe, on munit le plan dun repère quelconque (O,, ). Ce qui induit que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Ils sont encore moins nuls. Coordonnées dun vecteur. Nous allons définir ce que sont les coordonnées dun vecteur dans le repère (O,, ). Si vous souhaitez en savoir plus sur la dmonstration de ce thorme, utilisez le bouton ci-dessous. Comme pour les points, on dit que x est labscisse du vecteur alors que y en est lordonnée. Les coordonnées dun vecteur dépendent de la base (couple de vecteurs (, ) non colinéaires) dans laquelle on se trouve.
" a pour coordonnées (x; y) dans la base (, )" se note de deux manières:
Certains vont me dire, les coordonnées cest bien beau! Mais si deux vecteurs sont égaux, ils doivent nécessairement avoir même coordonnées. 2nd - Cours - Géométrie dans le plan. Cest logique! Oui cest logique et cest dailleurs le cas! Cela parait logique, mais nous allons quand même le montrer! La preuve du théorème:
Une équivalence, cest deux implications.
Geometrie Repère Seconde 2017
$x_M$ est l' abscisse du point $M$ et $y_M$ est l' ordonnée du point $M$. Le couple ainsi défini est unique. Exemple:
Les coordonnées de:
$A$ sont $(4;2)$ et on note $A(4;2)$
$B$ sont $(-2;1)$ et on note $B(-2;1)$
$C$ sont $(1;-2)$ et on note $C(1;-2)$
$D$ sont $(-1;-3)$ et on note $D(-1;-3)$
Remarque 1: La première coordonnée donnée correspond toujours à celle lue sur l'axe des abscisses et la seconde à celle lue sur l'axe des ordonnées. Ainsi l'abscisse de $A$ est $4$ et son ordonnée est $2$. Remarque 2: On a ainsi $O(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$
Propriété 6: On considère deux points $A$ et $B$ d'un plan muni d'un repère $(O;I, J)$. Ces deux points sont confondus si, et seulement si, leurs coordonnées respectives sont égales. 2. Milieu d'un segment
Propriété 7: On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d'un repère $(O;I, J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$. Seconde : Géométrie dans un repère du plan. Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$.
Dans chaque chapitre:
Les savoir-faire;
Les vidéos;
Des sujets d'entraînement sur les savoir-faire;
Des sujets d'entraînement de synthèse;
Des fiches de méthodes/rappels/exercices d'approfondissement
Pour travailler efficacement:
Commencez par regarder les vidéos du cours;
Imprimez les sujets et inscrivez dessus vos réponses, puis comparez avec les réponses dans le corrigé. Mais attention il est important de prendre le temps de chercher. Certaines réponses, certaines techniques demandent du temps. Ne regardez pas le corrigé seulement au bout de 5 minutes de recherche. Cela n'aurait que très peu d'intérêt. Commencez par les sujets savoir-faire. Imprimez les sujets et travaillez dessus. Attention, vous savez qu'en mathématiques, la rédaction est tout aussi importante que le résultat. Travaillez dans ce sens en expliquant votre démarche et en justifiant les calculs que vous avez entrepris pour répondre à la question. Une phrase de conclusion est bienvenue également. Les corrigés de ces fiches sont détaillés et devraient vous permettre de comprendre ce que l'on attend de vous en terme de rédaction.
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