Voici l'énoncé d'un exercice qui a pour but de démontrer la règle de Raabe-Duhamel, qui est un critère permettant d'évaluer la convergence de séries. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des séries. C'est un exercice de fin de première année dans le supérieur.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé Pour
↑ (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 ( ISBN 978-1556080104, lire en ligne). ↑ La « règle de Kummer », sur, n'est formulée que si ( k n u n / u n +1 – k n +1) admet une limite ρ: la série ∑ u n diverge si ρ < 0 et ∑1/ k n = +∞, et converge si ρ > 0. ↑ B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2 e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », 2005 ( lire en ligne), p. 264. ↑ (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 ( ISBN 978-1556080104, lire en ligne). ↑ (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 ( ISBN 978-1556080104, lire en ligne). ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », sur MathWorld. Bibliographie [ modifier | modifier le code]
Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221
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Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé Des
Quel est le signe de sa somme? En appliquant le critère des séries alternées, démontrer que la série de terme général $(u_n)$ converge. Enoncé On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série
$\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$. Montrer que, pour tout $(p, q)\in\mathbb N^2$ tel que $p\leq q$, on a:
$$\sum_{k=p}^q u_kv_k=s_qv_q-s_{p-1}v_p+\sum_{k=p}^{q-1}s_k(v_k-v_{k+1}). $$
Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs
dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$. Enoncé Étudier la convergence des séries suivantes:
\dis\mathbf 1. \ \sin\left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n}}\right)&&\dis\mathbf 2. \ \frac{(-1)^nn\cos n}{n\sqrt{n}+\sin n}. Enoncé Étudier la nature de la série de terme général
$$u_n=\prod_{q=2}^n\left(1+\frac{(-1)^q}{\sqrt q}\right).
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé Mathématiques
$$
Enoncé Montrer que la série de terme général $u_n=\frac{\cos(\ln n)}{n}$ est divergente. Enoncé Étudier les séries de terme général:
$u_n=\sin(\pi e n! )$ et $v_n=\sin\left(\frac{\pi}{e}n! \right). $
$\displaystyle u_n=\frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}{n^\alpha}$, pour $\alpha\in\mtr. $
Comparaison à une intégrale
Enoncé Suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, déterminer la nature de la série $\sum_n u_n$, où
$$u_n=\frac{\sqrt 1+\sqrt 2+\dots+\sqrt n}{n^\alpha}. $$
Enoncé On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha, \beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général
$$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}. $$
Démontrer que la série converge si $\alpha>1$. Traiter le cas $\alpha<1$. On suppose que $\alpha=1$. On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente. Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
Question pour toi: le corrigé donne-t-il une forme explicite $u_n=f(n)$ ou non? Si oui, donne-la moi, sinon, continue à lire. Je
disais donc qu'à ce stade, techniquement, je suis potentiellement
bloqué. Là, ce que tu fais à chaque fois, c'est venir sur le forum pour
râler, dire que c'est infaisable pour X raison, et c'est là que tu fais ta première erreur: tu arrêtes de réfléchir et d'utiliser tes ressources à fond. Cependant, je te donne une circonstance atténuante: si l'exercice est posé de façon trompeuse (ici, il donne l'impression qu'on peut donner une écriture explicite de $u_n$, et qu'elle est nécessaire pour continuer), c'est normal de galérer, c'est pour ça que j'écris ici. D'où l'intérêt de nous écouter quand on te dit que le bouquin est mauvais! J'ai déjà dit que le Gourdon contient le même exercice, mais posé différemment (surtout: posé mieux), donc je vais y faire référence plusieurs fois. Pour information: l'exercice version Gourdon est littéralement "à quelle condition sur $a$ et $b$ la série converge-t-elle, calculer la somme quand c'est le cas. "
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