Une suite arithmétique est une suite telle que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n +r, avec r\in \mathbb{R}. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel r.
Une fois que l'on a identifié une suite arithmétique, on peut donner sa forme explicite. On considère la suite définie par: \forall n \in \mathbb{N}, u_n = \left(n+2\right)^2-n^2
Montrer que \left(u_n\right) est une suite arithmétique et donner sa forme explicite. Etape 1 Calculer u_{n+1}-u_n
Pour tout entier n, on calcule u_{n+1}-u_n. Soit n un entier naturel. On calcule:
u_{n+1}-u_n = \left[ \left(n+3\right)^2-\left(n+1\right)^2 \right]-\left[ \left(n+2\right)^2-n^2 \right]
u_{n+1}-u_n = \left[ n^2+6n+9-n^2-2n-1 \right]-\left[n^2+4n+4-n^2 \right]
u_{n+1}-u_n = \left[ 4n+8\right]-\left[4n+4 \right]
u_{n+1}-u_n = 4n+8-4n-4
u_{n+1}-u_n = 4 Etape 2 Conclure que \left(u_n\right) est arithmétique S'il existe un réel r, tel que \forall n \in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n = r, alors on conclut que \left(u_n\right) est arithmétique.
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La raison $\boldsymbol{r}$ est le coefficient directeur de la droite. $\boldsymbol{u_0}$ est l' ordonnée à l' origine. Conseil
Penser à calculer les premiers termes. Cela permet:
Si la suite est arithmétique d'avoir une idée de la raison. Si la suite n'est pas arithmétique, de le prouver
Si par exemple:
$u_0=2$, $u_1=5$ et $u_2=9$
Cette suite n'est pas arithmétique
car pour passer de $u_0$ à $u_1$ on rajoute 3
alors que pour passer de $u_1$ à $u_2$ on rajoute 4. On ne rajoute donc pas toujours le même nombre,
donc la suite n'est pas arithmétique. Limite d'une suite arithmétique
♦ Limite d'une suite arithmétique
expliqué en vidéo
Si $\boldsymbol{r\gt 0}$
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$ alors
\[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=+\infty}\]
On retrouve ce résultat graphiquement:
Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$
On retrouve que
lorsque $n$ tend vers $+\infty$
$u_n$ tend vers $+\infty$. Si $\boldsymbol{r\lt 0}$
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$ alors
\[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=-\infty}\]
Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$
$u_n$ tend vers $-\infty$.
Suite arithmétique
♦ Cours en vidéo: Ce qu'il faut savoir sur les suites arithmétiques
Une suite est arithmétique
$\Updownarrow$
lorsqu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre. Ce nombre est appelé la raison de la suite,
et on le note souvent $\boldsymbol r$. $\boldsymbol{u_{n+1}=}$
Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$. Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$. Ecrire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
signifie
qu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$. $\boldsymbol{u_{n}=}$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_0+n\times r}$. Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
pour passer de $u_0$ à $u_n$, on rajoute $n$ fois $r$. Donc $u_n=u_0+n\times r$. Il ne faut pas apprendre cette formule,
mais savoir la retrouver à l'aide du schéma! $\boldsymbol{u_{n}=u_1+}$
Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_1+(n-1)\times r}$.
2n+1 + 1 est exactement la même chose que 2n + 1 + 1 quels que soient les espaces qu'on met ou qu'on ne met pas:
2 fois n, puis on ajoute 1, et encore une fois 1, et c'est faux.
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il y a 4 années
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Coquin
il y a 4 mois
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