Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. L'inégalité de Jensen est une généralisation de l'inégalité de convexité à plusieurs nombres. Elle permet de démontrer des inégalités portant sur des expressions faisant intervenir plusieurs nombres, comme la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs nombres. La plupart de ces inégalités seraient délicates à démontrer autrement. Préliminaire [ modifier | modifier le wikicode]
Rappelons le théorème démontré au premier chapitre et connu sous le nom d'inégalité de Jensen. Théorème
Soit f une fonction convexe définie sur un intervalle I de ℝ. Alors, pour tout ( x 1, x 2, …, x n) ∈ I n et pour toute famille (λ 1, λ 2, …, λ n) ∈ (ℝ +) n telle que λ 1 + λ 2 + … + λ n = 1, on a:. Démontrer une inégalité à l'aide de la convexité - Terminale - YouTube. Nous avons aussi le corollaire immédiat suivant:
Corollaire
Soit f une fonction convexe définie sur un intervalle I de ℝ. Alors, pour tout ( x 1, x 2, …, x n) ∈ I n, on a:. Il suffit de poser λ 1 = λ 2 = … = λ n = 1/ n dans le théorème de Jensen.
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Note obtenue:
15. 75
Attention, ce développement est utilisé dans des leçons de votre couplage. Voulez-vous quand même le supprimer de votre couplage? Après plus d'un an et demi d'écriture, notre livre voit enfin le jour! Preuve : inégalité de convexité généralisée [Prépa ECG Le Mans, lycée Touchard-Washington]. Cet ouvrage a été relu par des agrégatifs comme vous pour en faire un outil le plus utile possible! Cet ouvrage propose une liste de développements analysés finement, replacés dans un contexte global listant le plus exhaustivement possible les imbrications des résultats avec le reste du monde mathématique. Le lecteur trouvera dans cet ouvrage toute les techniques fondamentales de preuve ainsi que des entraînements complets et pédagogiques afin d'être préparé au mieux pour le concours de l'agrégation de mathématiques.
On pose
$a_0=a$, $a_1=(2a+b)/2$, $a_2=(a+2b)/3$ et $a_3=b$. On pose également
$$\mu=\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}. $$
On suppose que $\mu\leq 0$. Justifier que $f$ atteint son minimum sur $[a, b]$ sur l'intervalle $[a_1, a_3]$. On suppose que $\mu>0$. Justifier que $f$ atteint son minimum sur $[a, b]$
sur l'intervalle $[a_0, a_2]$. Écrire une fonction sous Python permettant de donner un encadrement d'amplitude $\veps$ du minimum de la fonction convexe $x\mapsto e^x+x^2$, sachant que ce minimum
se situe dans l'intervalle $[-1, 0]$. Soit $f$ une fonction convexe croissante et soit $g$ une fonction convexe. Fonctions convexes/Définition et premières propriétés — Wikiversité. Démontrer que $f\circ g$ est convexe. Soit $f:\mathbb R\to]0, +\infty[$. Montrer que $\ln f$ est convexe si et seulement si, pour tout $\alpha>0$, $f^\alpha$
est convexe. Enoncé Soit $f:\mtr\to\mtr$ une fonction continue telle que:
$$\forall(x, y)\in\mtr^2, \ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}. $$
Prouver que $f$ est convexe.
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