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Vidéo 1: La fonction exponentielle. D. S. sur la fonction Exponentielle
Devoirs
Articles Connexes
Les Fonction Exponentielle Terminale Es 8
7. 1 La
fonction exponentielle
Définition
On a vu dans le chapitre précédent que l'équation ln( x) = m admet une unique solution pour tout m ∈ R et cette solution est un réel strictement positif. Autrement dit, pour tout x ∈ R, il existe un unique y > 0 tel que x = ln( y). Définition 7. 1
La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui, à chaque réel x associe le réel strictement positif y vérifiant x = ln( y). La fonction exponentielle est notée exp. Exemple 7. 1
– On a ln(1) = 0 donc exp(0) = 1. – On a ln(e) = 1 donc exp(1) = e, où e est le réel défini au chapitre 6 comme étant l'antécédent
de 1 par la fonction ln. e valant environ 2, 718
Remarque 7. 1
On a vu que pour n ∈ Z, ln(e n) = n × ln(e) = n. Donc en utilisant la définition de la fonction
exponentielle, on a: pour tout n ∈ Z, exp( n) = e n. Par convention, on généralise cette notation
à tous les nombres: pour x ∈ R on note e x l'image de x par la fonction exponentielle. Pour x ∈ R, on a: e x = exp( x)
7. 1. 2 Premières propriétés
Propriété 7.
Fonction Exponentielle Terminale Es
1
1-Pour tout x ∈ R, on a e x > 0. 2-Pour tout y ∈ R + *, e x = y si et seulement si x = ln( y). 3-Pour tout x ∈ R, on a ln (e x) = x. 4-Pour tout x ∈ R + *, on a eln( x) = x. Démonstration:
(1) D'après la définition de la fonction exponentielle, e x est le réel strictement positif y tel que
x = ln( y). Donc e x = y > 0. (2) Même démonstration que le point précédent. (3) Soit x ∈ R. D'après la définition 7. 1, on a e x = y avec ln( y) = x. Donc ln(e x) = ln( y) = x. (4) On pose y = ln( x). On a e y = z > 0 avec ln( z) = y = ln( x). Or x > 0 et z > 0 donc,
ln( z) = ln( x) si et seulement si x = z. Donc x = z = e y = e ln( x). Propriété 7. 2
Pour tous réels a et b on a:
e a = e b si et seulement si a = b.
e a < e b si et seulement si a < b.
On pose y a = e a et y b = e b les réels strictement positifs tels que ln ( y a) = a et ln ( y b) = b. On a
donc:
7. 3 Courbe représentative
Propriété 7. 3 (admise)
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonction logarithme népérien et
exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
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