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Le film démarre tambour battant avec un Romain Duris exalté qui s'invente un passé imaginaire devant une assistance médusé lors d'un cocktail mondain. Il y rencontre la sublime Camille et c'est le coup de foudre réciproque. Sous ses allures de film léger, il se dégage avec la naissance d'un enfant une atmosphère plus pesante à mesure que l'état de Camille se dégrade. Virginie Efira et Romain Duris sont excellents et forment un couple...
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Synopsis
Adaptation du roman éponyme signé Olivier Bourdeaut. Camille et Georges dansent tout le temps sur leur chanson préférée Mr Bojangles. Chez eux, il n'y a de place que pour le plaisir, la fantaisie et les amis. Jusqu'au jour où la mère va trop loin, contraignant Georges et leur fils Gary à tout faire pour éviter l'inéluctable coûte que coûte.
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Ambiguïtés à éviter [ modifier | modifier le code]
Il est essentiel, quand on utilise la transformation bilatérale de Laplace, de préciser la bande de convergence. Soit par exemple. Si la bande de convergence est, l'« antécédent » de cette transformation de Laplace est la fonction de Heaviside. En revanche, si la bande de convergence est, cet antécédent est. Convolution et dérivation [ modifier | modifier le code]
Soit et deux distributions convolables, par exemple ayant chacune un support limité à gauche, ou l'une d'entre elles étant à support compact. Alors (comme dans le cas de la transformation monolatérale),
En particulier, et, donc
Transformées de Laplace des hyperfonctions [ modifier | modifier le code]
On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel » [ 1]. Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. Mais par exemple
bien que n'étant pas une distribution (car elle est d'ordre infini localement, à savoir en 0), est une hyperfonction dont le support est et qui
admet pour transformée de Laplace
où désigne la fonction de Bessel de première espèce habituelle, à savoir la fonction entière
On obtient en effet en substituant cette expression dans la précédente
ce qui est bien cohérent avec la définition de puisque.
Généralisation au cas de plusieurs variables [ modifier | modifier le code]
La transformation bilatérale de Laplace se généralise au cas de fonctions ou de distributions à plusieurs variables, et Laurent Schwartz en a fait la théorie complète. Soit une distribution définie sur. L'ensemble des appartenant à pour lesquels (en notation abusive) est une distribution tempérée sur, est cette fois un cylindre de la forme où est un sous-ensemble convexe de (dans le cas d'une variable, n'est autre que la bande de convergence évoquée plus haut). Soit alors pour dans la distribution (de nouveau en notation abusive). Cette distribution est tempérée. Notons sa transformation de Fourier. La fonction est appelée la transformée de Laplace de (notée) et, avec, est notée. Ces remarques préliminaires étant faites, la théorie devient assez semblable à celle correspondant aux distributions d'une variable. Considérations sur les supports [ modifier | modifier le code]
Le théorème de Paley-Wiener et sa généralisation due à Schwartz sont couramment énoncés à partir de la transformation de Fourier-Laplace (voir infra).
Définition: Si $f$ est une fonction (localement intégrable),
définie sur, on appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction:
En général, la convergence de l'intégrale n'est pas assurée pour tout z. On appelle abscisse de convergence absolue de la transformée de Laplace le réel:
Eventuellement, on peut avoir. On montre alors que, si, l'intégrale converge absolument. est alors une fonction définie, et même holomorphe, dans le demi-plan. Transformées de Laplace usuelles:
Règles de calcul:
Soit $f$ (resp. $g$) une fonction, $F$ (resp. $G$) sa transformée de Laplace, d'abscisse de convergence (resp. ). Propriétés:
Sous réserve de certaines conditions sur la fonction $f$, on a:
Inversion de la transformée de Laplace:
Pour inverser la transformée de Laplace, on utilise en général les tables et les règles précédentes, en lisant de droite à gauche. Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose en éléments simples, et on cherche dans les tables.
En analyse, la transformation bilatérale de Laplace est la forme la plus générale de la transformation de Laplace, dans laquelle l' intégration se fait à partir de moins l'infini plutôt qu'à partir de zéro. Définition [ modifier | modifier le code]
La transformée bilatérale de Laplace d'une fonction de la variable réelle est la fonction de la variable complexe définie par:
Cette intégrale converge pour, c'est-à-dire pour appartenant à une bande de convergence dans le plan complexe (au lieu de, désignant alors l'abscisse de convergence, dans le cas de la transformation monolatérale). De façon précise, dans le cadre de la théorie des distributions, cette transformée « converge » pour toutes les valeurs de pour lesquelles (en notation abusive) est une distribution tempérée et admet donc une transformation de Fourier. Propriétés élémentaires [ modifier | modifier le code]
Les propriétés élémentaires (injectivité, linéarité, etc. ) sont identiques à celles de la transformation monolatérale de Laplace.
2. Propriétés
1. Linéarité
\[f(t)=f_1(t)+f_2(t)\quad \rightarrow \quad F(p)=F_1(p)+F_2(p)\]
1. Dérivation et Intégration
\[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]
Le calcul rigoureux (dérivation sous le signe \(\int\) conduit à: \[F'(p)~=~p~F(p)+f(0)\]
En pratique, les fonctions que nous considérons n'apparaissent qu'à l'instant \(t\) et sont supposées nulles pour \(t<0\) avec \(f(0)=0\): \[f'(t)\quad \rightarrow \quad F'(p)=p~F(p)\]
Inversement, une intégration équivaut à une multiplication par \(1/p\) de l'image. En effectuant une deuxième dérivation: \[F''(p) = p~F'(p)-f'(0)\]
Et comme \(f'(0)=0\), suivant l'hypothèse précédente: \[F''(p)=p^2~F(p)\]
1. 3. Théorème des valeurs initiale et finale
Théorème de la valeur initiale: \[f(0) = \lim_{p~\to~\infty}\{p~F(p)\}\]
Théorème de la valeur finale: \[f(+\infty) = \lim_{p~\to~0}\{p~F(p)\}\]
1. Détermination de l'original
La fonction image se présente généralement comme le quotient de deux polynômes, le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur.