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Education
Publié le 24/05/2022
• dans:
A la Une Education et Vie scolaire, Actu expert Education et Vie scolaire, France
Pap Ndiaye LurKin - wicommons CCA SA
La nomination de l'universitaire Pap Ndiaye comme ministre de l'Education nationale suscite une avalanche de réactions, à la mesure de la surprise qu'elle a provoquée. Celles des acteurs locaux sont le plus souvent positives, tout en demeurant prudentes. Abonnement Journal LA GAZETTE DU VAL D'OISE pas cher | A2Presse. Ma Gazette
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Le préjugé est favorable. Dans le monde des collectivités territoriales, la nomination « surprise » de l'universitaire Pap Ndiaye au ministère de l'Education nationale est accueillie avec bienveillance. Le parcours de cet historien, qui se décrit comme « un pur produit de l'école républicaine française, de la méritocratie », et son « engagement » en faveur de l'égalité des chances font de lui un interlocuteur « prometteur sur le papier », commente la présidente de l'Association nationale des directeurs d'éducation des villes (ANDEV), Rozenn Merrien, qui rêve d'un Etat mettant en place des politiques publiques « qui se déclineraient territorialement ».
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Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Dans tout ce chapitre, et désignent des intervalles de ℝ. Définition
On dit qu'une application est
convexe sur si:;
strictement convexe sur si, pour et, on a même:. Les inégalités de la définition sont connues sous les noms d'inégalité de convexité et d'inégalité de convexité stricte. Ces définitions s'appliquent à des fonctions qui ne sont pas forcément dérivables. Dans le cas où la fonction est dérivable ou mieux admet une dérivée seconde, nous verrons que l'on peut trouver des caractérisations plus simples des fonctions convexes et une condition suffisante de convexité stricte. On dit qu'une application est concave (resp. strictement concave) sur si est convexe (resp. strictement convexe) sur. Nous allons étudier maintenant quelques propriétés des fonctions convexes. Propriété 1
Une application est convexe sur si et seulement si pour tous points et de sa courbe représentative, l'arc est en-dessous de la corde. Il n'y a pas vraiment de démonstration à faire ici.
Inégalité De Convexité Ln
Inégalité de Young
Soient tels que. Pour tous réels positifs et,. En appliquant l'inégalité de convexité à,, et, on obtient:
qui équivaut à la formule annoncée. Inégalité de Hölder
Si et
alors, pour toutes suites et de réels positifs,. Sans perte de généralité, on peut supposer que les deux facteurs de droite sont non nuls et finis et même (par homogénéité) égaux à. En appliquant l'inégalité de Young on obtient, pour tout, (avec égalité si et seulement si). En sommant, on a donc bien, avec égalité si et seulement si. Application 4: forme intégrale de l'inégalité de Jensen [ modifier | modifier le wikicode]
Soient
un espace mesuré tel que,
une fonction -intégrable à valeurs dans un intervalle réel et
une fonction convexe de dans. Alors,,
l'intégrale de droite pouvant être égale à. La forme discrète de l'inégalité de Jensen ( voir supra) correspond au cas particulier où ne prend qu'un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Inversement, la forme intégrale peut se déduire de la forme discrète par des arguments de densité (à comparer avec l' exercice 1.
$\\$ Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $p>1$, par exemple, et de leurs conséquences. Autres rapports
+
(2017: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation (par exemple de la fonctionelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités. Pour aller plus loin, on peut mettre en évidence le rôle joué par la convexité dans le théorème de séparation de
Hahn-Banach. On peut aussi parler des propriétés d'uniforme convexité dans certains espaces, les espaces $L^p$ pour $p > 1$, par exemple, et de leurs conséquences.
Inégalité De Convexity
\(f\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)
\(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(I\)
\(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est décroissante sur \(I\). De cette propriété vient naturellement la suivante…
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\)
\(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0\)
Si \(f^{\prime\prime}\geqslant 0\), alors \(f\) est convexe: Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\). Soit \(a\in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \]
Pour tout \(x\in I\), posons alors \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))\). \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\)
\(g'(x)=f'(x)-f'(a)\)
\(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\)
Ainsi, puisque pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\), on a aussi \(g^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\).
On pose
$a_0=a$, $a_1=(2a+b)/2$, $a_2=(a+2b)/3$ et $a_3=b$. On pose également
$$\mu=\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}. $$
On suppose que $\mu\leq 0$. Justifier que $f$ atteint son minimum sur $[a, b]$ sur l'intervalle $[a_1, a_3]$. On suppose que $\mu>0$. Justifier que $f$ atteint son minimum sur $[a, b]$
sur l'intervalle $[a_0, a_2]$. Écrire une fonction sous Python permettant de donner un encadrement d'amplitude $\veps$ du minimum de la fonction convexe $x\mapsto e^x+x^2$, sachant que ce minimum
se situe dans l'intervalle $[-1, 0]$. Soit $f$ une fonction convexe croissante et soit $g$ une fonction convexe. Démontrer que $f\circ g$ est convexe. Soit $f:\mathbb R\to]0, +\infty[$. Montrer que $\ln f$ est convexe si et seulement si, pour tout $\alpha>0$, $f^\alpha$
est convexe. Enoncé Soit $f:\mtr\to\mtr$ une fonction continue telle que:
$$\forall(x, y)\in\mtr^2, \ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}. $$
Prouver que $f$ est convexe.
Inégalité De Convexité Démonstration
Ensembles convexes
Enoncé Soit $C_1$, $C_2$ deux parties convexes d'un espace vectoriel réel $E$ et soit $s\in [0, 1]$. On pose
$C=sC_1+(1-s)C_2=\{sx+(1-s)y;\ x\in C_1, \ y\in C_2\}$. Démontrer que $C$ est convexe. Enoncé Soit $C_1$ et $C_2$ deux ensembles convexes de $\mathbb R^n$ et $C_1+C_2=\{x+y;\ x\in C_1, \ y\in C_2\}$. Démontrer que $C_1+C_2$ est convexe. Enoncé Pour tout $E\subset\mathbb R^n$, on appelle enveloppe convexe de $E$ l'ensemble
$$K(E)=\bigcap_{A\in \mathcal E(E)}A$$
où $\mathcal E(E)$ désigne l'ensemble des convexes de $\mathbb R^n$ contenant $E$. Démontrer que $K(E)$ est convexe. Déterminer $K(E)$ lorsque $E$ est la courbe de la fonction $y=\tan x$ pour $x\in \left]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2\right[$. Inégalités de convexité
Enoncé
Soient $a, b\in\mathbb R$. Montrer que $\displaystyle e^{\frac{a+b}2}\leq\frac{e^a+e^b}{2}. $
Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1, +\infty[$. En déduire que $\forall a, b>1, \ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.
Alors, il existe tels que
et. Considérons la fonction croissante de la propriété 3 ci-dessus et un réel tel que. Pour tout, on a, avec égalité si. La propriété est donc satisfaite en prenant. Propriété 11
Soit une fonction continue. Pour que soit convexe sur, il suffit qu'elle soit « faiblement convexe », c'est-à-dire que. (L'expression « faiblement convexe » est empruntée à Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston, 1964, 39 p. [ lire en ligne], p. 5. ) Cette démonstration, extraite de, utilise le théorème de Weierstrass (ou « des bornes »). Pour une autre démonstration, voir le § « Possibilité de n'utiliser que des milieux » de l'article de Wikipédia sur les fonctions convexes. Raisonnons par contraposée, c'est-à-dire supposons que (continue sur) n'est pas convexe et montrons qu'alors elle n'est même pas « faiblement convexe ». Par hypothèse, il existe un intervalle tel que le graphe de la restriction de à ce sous-intervalle ne soit pas entièrement en-dessous de la corde qui joint à, c'est-à-dire tel que la fonction (continue)
vérifie:.