Comment faut-il rédiger? Exemple 1: antécédent d'un nombre k pour une fonction croissante
Nous nous plaçons dans le cas d'une fonction croissante. Montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur [a;b]. Bien penser à la formulation de trois hypothèses:
f est strictement croissante sur [a;b]
Je calcule f(a)=…. et f(b)=…. et je remarque donc que k ∈ [ f(a); f(b)]. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=k admet une unique solution sur [a;b]. Exemple 2: antécédent de 0 pour une fonction décroissante
Nous prenons cette fois le cas d'une fonction décroissante, avec f(0)=1 et:
On rédige pareillement:
f est continue sur [0;+∞[
f est strictement décroissante sur [0;+∞[
Je calcule f(0)=1 et et je remarque donc que 0∈]-∞;1]. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur [0;+∞[. A quoi cela va-t-il servir dans la suite de l'exercice? Le théorème des valeurs intermédiaires nous a permis d'affirmer que f(x) prend la valeur 0: cela correspond à un changement de signe de f(x).
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Le cours des théorème des valeurs intermédiaires avec les exercices corrigés destiné pour les étudiants du terminale s et es ainsi que les étudiants du lycée.
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Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit:
Avant je prenais n'importe quelle valeur de x sur l'intervalle bleu,
et je trouvais f(x) sa valeur par la fonction, sur l'intervalle orange. Maintenant, je prends n'importe quelle valeur sur l'intervalle orange, mettons 2,
Et bien je sais qu'il existe un unique antécédent a, grâce au théorème des valeurs intermédiaires. Comment on rédige ça? Deux conditions: d'abord f est continue sur l'intervalle bleu
Ensuite, f est strictement croissante ou décroissante sur l'intervalle bleu là encore. Enfin je précise les bornes des intervalles: comme on va de x = -1 à x = 1, dont les images sont 3 et -1, on écrit que l'image de l'intervalle [-1;1] est l'intervalle [-1;3]. Comme on a les deux conditions et les valeurs aux bornes, d'après le TVI avec stricte monotonie,
2 appartient à l'intervalle orange [-1;3],
Il a donc un unique antécédent dans l'intervalle bleu qu'on nomme a pour antécédent, tel que f(a) = 2. On doit avoir cette disposition, que je vais appeler de la ficelle tendue le long d'une diagonale, et qu'on identifie dans un tableau de variation pour trouver un antécédent.
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Continuité et TVI
>> Théorème des valeurs intermédiaires Corrigés vidéos et fiche >> Unique antécédent d'une fonction: TVI
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C'est parti! On nous demande de prouver qu'il existe un unique antécédent, réel a tel que f(a) = 2. a est un antécédent de 2. Prouver l'existance d'un unique antécédent, ça doit être automatique, c'est le théorème des valeurs intermédiaires, en précisant que la fonction est strictement croissante ou décroissante. Cette fonction est strictement décroissante
sur [ -1; 1] Et sur cet intervalle, elle prend ses valeurs entre 3, et -1
on a une fonction de -1; 1 dans [-1; 3]
Cette lecture graphique sert à bien comprendre, mais n'est pas utile pour démontrer l'existence d'un unique antécédent. Un simple tableau de variation suffit,
un tableau où la fonction est décroissante sur -1;1
de f(-1) = 3 vers f(1)= -1.
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