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Soutien maths - Produit scalaire
Cours maths 1ère S
Produit scalaire
Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient
et
deux vecteurs du plan. • Si
sont non nuls, on appelle
produit scalaire de
le nombre
réel noté
défini par:
Si
ou
est le vecteur nul, alors
où
=
est l'angle orienté formé
par les vecteurs
et. Lecon vecteur 1ere s francais. ATTENTION
Le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un vecteur mais un nombre réel. Expression analytique du produit scalaire
Propriété
a pour coordonnées (x, y) et
a pour coordonnées (x', y') dans un repère orthonormé alors:
Carré scalaire et norme
Quelques points importants à retenir:
►Carré scalaire
Soit
un vecteur du plan. On appelle carré scalaire de
le nombre réel noté
Egalités remarquables
On a les égalités suivantes:
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Lecon Vecteur 1Ere S Second
colinéaires
Les vecteurs
sont colinéaires. 1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
car
2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Lecon vecteur 1ere s second. Vecteurs colinéaires et droites
Un point M de l'espace appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs
On a donc:
le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si
il existe un nombre réel t tel que:
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
si et seulement si les vecteurs
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles. Plans de l'espace
Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace. Un point M de l'espace appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels x et y tels que
Repères de l'espace
Un repère de l'espace est un quadruplet
formé
- d'un point O appelé origine du repère,
- d'un triplet
de vecteurs non coplanaires. Coordonnées d'un point de l'espace
un repère de l'espace. Pour tout point M de l'espace il existe un unique triplet (x, y, z) de nombres réels tels que:
s'appelle l'abscisse de M
s'appelle l'ordonnée de M
s'appelle la côte de M
(x, y, z) sont les coordonnées du point M dans le repère
Plans de coordonnées
Un point M de coordonnées (x, y, z) dans le
repère
de l'espace appartient
au plan (xOy) si et seulement si z=0
z=0 est une équation du plan (xOy).
Lecon Vecteur 1Ere S Tunisie
Or
$\begin{align*} AM=r&\ssi \sqrt{\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2}=r\\
&\ssi \left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2\end{align*}$
Remarque: La preuve de la propriété nous assure donc que l'équation $\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2$ est celle d'un cercle de centre $A\left(x_A;y_A\right)$ et de rayon $r$. Une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$ de centre $A(4;-3)$ et de rayon $5$ est $(x-4)^2+\left(y-(-3)\right)^2=5^2$ soit $(x-4)^2+(y+3)^2=25$. Vecteurs 1ère S - Forum mathématiques première vecteurs - 465605 - 465605. On veut déterminer l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan vérifiant $x^2+4x+y^2-6y-8=0$
$\begin{align*} &x^2+4x+y^2-6y-8=0\\
&\ssi x^2+2\times 2\times x+y^2-2\times 3\times y-8=0\\
&\ssi (x+2)^2-2^2+(y-3)^2-3^2-8=0 \quad (*)\\
&\ssi (x+2)^2+(y-3)^2=21\\
&\ssi \left(x-(-2)\right)^2+(y-3)^2=\sqrt{21}^2\end{align*}$
$(*)$ On reconnaît en effet deux début d'identités remarquables de la forme $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$. L'ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(-2;3)$ et de rayon $\sqrt{21}$. $\quad$
Lecon Vecteur 1Ere S Francais
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Soutien maths - Les vecteurs
Cours maths seconde
Il s'agit d'un cours de révisions de programme de collège sur les vecteurs (définition, égalité de vecteurs, somme, translation, relation de Chasles, …. ) avec quelques compléments. Définition d'un vecteur:
Si l'on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par:
● sa direction
● son sens
● sa norme
Exemple:
La direction de
est la droite (AB). Le sens de
est de A vers B.
La norme de
est la longueur AB. Egalité de vecteurs:
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Lecon vecteur 1ères rencontres. Les vecteurs
et
ont le même sens. =
si:
● (AB) // (CD)
● AB = CD
Construction de la somme de vecteurs:
Si
sont deux vecteurs donnés, pour construire la somme:
● On trace le vecteur
à partir d'une origine O, ce qui nous donne le vecteur. ● En O', on trace le vecteur, ce qui nous donne le vecteur
et la somme des vecteurs
est le vecteur. Construire
où, et
O
sont donnés ci-dessous. Un voyageur part de Paris pour aller à Kiev en faisant une escale à Rome.
Lecon Vecteur 1Ères Rencontres
Soient A le point de coordonnées A\left(-5; 1\right) et les points B et C tels que \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}. Les coordonnées de \overrightarrow{BC} sont celles de A. Donc, les coordonnées de \overrightarrow{BC} sont (-5; 1). II Les vecteurs colinéaires Vecteurs colinéaires (1) Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que: \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} Sur la figure ci-dessus, B est le milieu de [ AC]. On peut donc écrire: \overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}. Ainsi les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires. Vecteurs colinéaires (2) Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles. Les vecteurs - 1S - Cours Mathématiques - Kartable. Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ont des directions parallèles, ils sont donc colinéaires. Soient A, B, C et D quatre points du plan. Les droites ( AB) et ( CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Produit scalaire dans un repère orthonormé. Produit scalaire et applications en 1ère S - Cours, exercices et vidéos maths. On note ( O; i ⃗; j ⃗) (O;\vec i;\vec j) un repère orthonormé du plan. Soient u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v deux vecteurys du plan de coordonnées ( x; y) (x;y) et ( x ′; y ′) (x';y'). On a alors:
u ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ et v ⃗ = x ′ i ⃗ + y ′ j ⃗ \vec u=x\vec i+y\vec j\textrm{ et}\vec v=x'\vec i+y'\vec j
On calcule le produit scalaire de u ⃗ \vec u par v ⃗ \vec v:
u ⃗ ⋅ v ⃗ = ( x i ⃗ + y j ⃗) ⋅ ( x ′ i ⃗ + y ′ j ⃗) = \vec u\cdot\vec v=(x\vec i+y\vec j)\cdot(x'\vec i+y'\vec j)=
En développant, on trouve
u ⃗ ⋅ v ⃗ = x x ′ + y y ′ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
Théorème:
Dans un repère orthonormé, si u ⃗ ( x; y) \vec u(x;y) et v ⃗ ( x ′; y ′) \vec v(x';y'), alors
Toutes nos vidéos sur produit scalaire et applications en 1ère s
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Eveil / Caroline 4-5 ans 11. 15 - 12. 00
Hip Hop | Poleen N2-3 / 9-13 ans 17. 45 - 18. 45 Hip Hop | Poleen N4-5 / + 13 ans 18. 45 - 19. 45
Jeudi
17. 45
18. 45
Lady Style | Poleen Ado-Adulte / +15 ans 19. 45 - 20. 45
Prépa pro / Caroline Atelier concours prépa pro 16. 45 - 17. 30 Prépa pro / Caroline Chorégraphie concours ado 20. 30 - 21. 15
Mercredi
16. 30
Vendredi
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