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premiere
chapitre 5 Trigonométrie
exercice corrigé nº826
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode. Mesure principale
déterminer la mesure principale:
- méthode
- exemple
infos:
| 5-8mn |
vidéos semblables
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Exercices Trigonométrie Première Spécialité
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Exercices Trigonométrie Premiere Classe
\)
Corrigé détaillé ex-1
A- Sachant qu'un tour complet équivaut à \(2\pi, \) il est facile de placer \(\pi. \) Ensuite, si l'on divise le demi-cercle par 4, il suffit pour placer le deuxième point de compter sept quarts dans le sens trigonométrique. Le dernier point à placer correspond à une valeur négative. C'est donc dans le sens horaire qu'il faut avancer. Le cercle a été partagé en 6. Il est alors facile de situer les deux tiers d'un demi-cercle. Exercices trigonométrie première fois. B- Pour déterminer l'abscisse curviligne de \(A\) il faut décomposer le quotient de façon à faire apparaître un multiple de \(2\pi. \)
Par exemple:
\(\frac{7}{3}\pi = \frac{6}{3}\pi + \frac{1}{3}\pi\) \(= 2\pi + \frac{\pi}{3}\)
On élimine \(2\pi\) (un tour complet du cercle) et c'est donc \(\frac{\pi}{3}\) qui est associé à \(A. \)
Pour déterminer le nombre associé à \(B, \) il faut trouver un nombre proche de 23 qui soit le multiple de 4. Or 24 se situe entre 23 (soit \(6 \times 4\)) et 16. Soit on pose \(-\frac{23\pi}{4}\) \(= -\frac{24\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\)
Soit on pose \(-\frac{23\pi}{4}\) \(=-\frac{16\pi}{4} - \frac{7\pi}{4}\)
Dans les deux cas, on ne s'intéresse qu'au second terme puisque le premier correspond à un nombre de tours complets du cercle.
Exercices Trigonométrie Première Fois
a. Quelle équation du second degré est équivalent à l'équation $(1)$? $\quad$
b. Montrer que son discriminant peut s'écrire $4\left(1-\sqrt{3}\right)^2$. c. Déterminer les solutions de cette équation du second degré. En déduire les solutions de l'équation $(1)$ dans $]-\pi;\pi[$ puis dans $\mathbb R$. a. On pose $X=\cos x$ alors l'équation $(1)$ est équivalente à $$\begin{cases} X\in[-1;1] \\
4X^2-2\left(1+\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}=0\end{cases}$$
b. Exercices trigonométrie premiere classe. Le discriminant de l'équation du second degré est:
$\begin{align*} \Delta &= 4\left(1+\sqrt{3}\right)^2-16\sqrt{3} \\
&=4\left(\left(1+\sqrt{3}\right)^2-4\sqrt{3}\right) \\
&=4\left(1+3+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}\right) \\
&=4\left(1+3-2\sqrt{3}\right)\\
&=4\left(1-\sqrt{3}\right)^2
\end{align*}$
c. $\Delta>0$
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{4\left(1-\sqrt{3}\right)^2}=2\left|1-\sqrt{3}\right|=2\left(\sqrt{3}-1\right)$
Il y a donc deux solutions réelles:
$X_1=\dfrac{2\left(1+\sqrt{3}\right)-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{8}= \dfrac{1}{2}$
Et $X_2=\dfrac{2\left(1+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
On cherche donc les solutions dans $]\pi;\pi]$ des équations $\cos x=\dfrac{1}{2}$ et $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Or, l'énoncé précise que le réel cherché doit se situer entre \(-\pi\) et \(\pi. \) La réponse est donc \(\frac{\pi}{3}. \) La seconde valeur aurait été la bonne réponse si nous avions cherché un réel compris entre \(-2\pi\) et 0. Corrigé détaillé ex-2
A- Ne pas utiliser la calculatrice implique de connaître les valeurs remarquables. En l'occurrence, \(\sin(\frac{\pi}{6}) = 0, 5\) (voir la page sur la trigonométrie). Par ailleurs, \(\frac{13\pi}{6}\) \(= \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\) (si vous avez fait l'exercice précédent, vous l'avez deviné). Donc \(\frac{13\pi}{6}\) \(= 2\pi + \frac{\pi}{6}. \)
Il s'ensuit que le sinus de \(\frac{13\pi}{6}\) n'est autre que le sinus de \(\frac{\pi}{6}. \) Donc une nouvelle fois 0, 5. Ainsi l'expression est égale à \(0, 5 + 0, 5 = 1\) (tout ça pour ça! ). B- Là encore, nous pouvons étaler notre science à condition de connaître les valeurs remarquables. Nous savons que \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Or nous cherchons l'opposé. Exercice, mesure principale, angles, cercle - Trigonométrie de première. À partir du cercle trigonométrique, il est facile de déterminer les deux cosinus qui nous intéressent par symétrie.